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Author: Juan Carlos Bustamante
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Courbes paramétrées

Étant donné un intervalle IRI\subseteq \mathbb{R} et une fonction γ:IRn{\bm \gamma} : I \to \mathbb{R}^n son image est une courbe dans Rn\mathbb{R}^n.

  • La fonction γ{\bm \gamma} est une paramétrisation de la courbe C{\mathcal C}
  • Il peut avoir d'autres paramétrisations qui donnent lieu à la même courbe.

On va voir comment tracer quels courbes avec SAGEmathCloud.

Exemple 1

Considérons la courbe γ(t)=(cos(2t),sin(t)){\bm \gamma}(t)=(\cos(2t), \sin(t)), il s'agit d'une courbe plane.

var('t') Courbe = parametric_plot([cos(2*t),sin(4*t)],(t,0,2*pi), color='blue', thickness = 2) show(Courbe)
t

Exemple 2

Considérons maintenant une courbe dans l'espace γ(t)=(t,t2,t3){\bm \gamma}(t)=(t,t^2,t^3)

Courbe = parametric_plot3d([t,t^2, t^3],(t,-2,2),color='red', thickness=3) show(Courbe)
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Remarques :

Cette courbe est l'intersection de deux surfaces :

  • Le cylindre parabolique y=x2y=x^2,
  • Le cylindre cubique z=x3z= x^3.

En cas de besoin, posez la question sur ce qu'un cylindre parabolique est.

Voici les deux surfaces en question, avec le courbe d'intersection. Pour tracer les surfaces, on a utilisé des paramétrisations. Ceci fera l'objet d'un chapitre ultérieur.

var('u,v') Cyl=parametric_plot3d((u,u^2,v),(u,-2,2),(v,-8,8), color='blue', opacity=0.35) Surf = parametric_plot3d((u,v,u^3),(u,-2,2),(v,0,4),color='green',opacity=0.35) show(Cyl+Surf+Courbe, frame_aspect_ratio = [4,4,1])
(u, v)
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Exemple 3

Il y a des fonctions qui peuvent poser problème : une intégrale qu'on ne peut évaluer analytiquement, par exemple. Un exemple typique serait quelque chose comme la courbe dont l'équation serait y(x)=0xeu2du\displaystyle y(x) = \int_{0}^x e^{-u^2} {\rm d}u. La primitive n'existe pas, mais ça ne devrait pas nous obliger à nous passer de la courbe. Une façon de procéder serait de définir une fonction séparément, qui tienne compte du fait que l'on veut une intégration numérique, puis utiliser cette fonction pour le graphique.

var('t,u') def y(t): return integral_numerical(e^(-u^2)/sqrt(2*pi),0,t)[0]+1/2
(t, u)
def x(t): return t
y(1)
0.797939722603012
Courbe = parametric_plot((x,y),(-5,5),color='blue', thickness=2) show(Courbe,aspect_ratio=5)

Exemple : la spirale de Cornu

Il s'agit de la courbe donnée par le chemin x(t)=0tcosπu22du\displaystyle x(t) = \int_0^t \cos \frac{\pi u^2}{2} {\rm d}u et y(t)=0tsinπu22du\displaystyle y(t) = \int_0^t \sin \frac{\pi u^2}{2} {\rm d}u . Ces intégrales ne peuvent pas être évaluées analytiquement, mais on va tracer la courbe quand même.

var('t,u') def x(t): return integral_numerical(cos(pi*u^2/2),0,t)[0]
(t, u)
def y(t): return integral_numerical(sin(pi*u^2/2),0,t)[0]

Première méthode :

Une liste de points, puis les segments les joignant. Ici on divise l'intervalle [π,π][-\pi, \pi] en 200 sous intervalles

Points = [(x(t),y(t)) for t in sxrange(-pi,pi,2*pi/200)] line(Points).show(figsize=[5, 5],aspect_ratio=1)
p = parametric_plot((x,y),(-pi,pi)) show(p)