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Author: Manuel Alejandro Vivas Riverol
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Description: Jupyter notebook Application to spring-mass system.ipynb

Aplicación a un Sistema masa - resorte

Datos:
m=1m = 1 kg
k=π2k = \pi^{2} N/m
x0=1x_{0}= 1 m
x0=πx^{'}_{0}=\pi m/s

Buscamos:
x(t)=Acos(ωtϕ)?x(t) = A\cos{(\omega t - \phi)}?


Triangulo de relaciones trgonometricas
Fig1. - Sistema Masa - Resorte para éste problema.

Modelando la Ecuación Diferencial


De acuerdo a la ley de Hooke:
F=kxF = -k x
Además:
F=mx¨F = m \ddot x

Por tanto:
mx¨=kxm \ddot x = -k x
De donde obtenemos:
mx¨+kx=0\Large m \ddot x + k x = 0

Solución:

In [1]:
## Resolvoendo la ED: mx''-kx = 0 t = var('t') x = function("x")(t) m = 1 k = pi^2 ED = m*diff(x,t,2) + k*x==0 sol = desolve(ED, x, ivar=t) show(sol)
K2cos(πt)+K1sin(πt)K_{2} \cos\left(\pi t\right) + K_{1} \sin\left(\pi t\right)

Resolviendo el PVI


Valores iniciales:
x0=1x_{0}=1 m
x0=πx_{0}^{'}=\pi m/s
In [2]:
## Resolvoendo la ED: mx''-kx = 0 t = var('t') x = function("x")(t) m = 1 k = pi^2 ED = m*diff(x,t,2) + k*x==0 sol = desolve(ED, x, [0,-1,pi], ivar=t) show(sol)
cos(πt)+sin(πt)-\cos\left(\pi t\right) + \sin\left(\pi t\right)

Expresando el resultado forma: Amplitud - fase


Tenemos:

Utilizaremos las formulas:

A=a2+b2A = \displaystyle \sqrt {a^{2}+b^{2}}\,
tanϕ=ba\tan{\phi} = -\frac{b}{a}


acosθ+bsinθ=Acos(θϕ)\large a\cos{\theta} + b\sin{\theta}=A\cos{(\theta-\phi)}
In [3]:
### alculando: A a = -1 b = 1 A = sqrt(a^2+b^2) show(A)
2\sqrt{2}
In [4]:
### Calculando: phi a = -1 b = 1 phiRadianes = arctan(n(b/a)) phiRadianes
-0.785398163397448
In [5]:
# Transformando de radianes a grados phiGrados = phiRadianes * 57.2958 phiGrados
-45.0000160903875
In [6]:
# Ángulo suplemantario para el 2o cuadrante: angComplement = 180 + phiGrados angComplement
134.999983909612
In [7]:
# Grados a radianes escritos con pi show(135*(pi/180))
34π\frac{3}{4} \, \pi
In [ ]: