1 3D Implizit - CoCalc

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Vorbetrachtungen im 3-dimensionalen Raum

Betrachten wir zunächst das analoge Problem der Untersuchung einer 3-dimensionalen Fläche aus der Perspektive eines 2-dimensionalen Wesens - nennen wir es R2D2 - das nur die 2 Dimensionen einer Ebene

E

wahrnehmen kann. Nehmen wir an, dass sich die Ebene

E

durch den 3-dimensionalen Raum bewegt und dabei zeitweise die durch diese Gleichung

Fl

definierte Fläche schneidet. Betrachten wir z.B. die durch die folgende Gleichung implizit definierte Fläche.

In [1]:

var('d,p,q,u,x,y')
assume(x,'real');assume(y,'real');assume(u,'real')
dmin=-2;dmax=2
pmin=-4;pmax=4
qmin=-4;qmax=4
xmin=-2;xmax=2
ymin=-2;ymax=2
umin=-2;umax=2
# Ändern Sie das Folgende, um eine andere Definition zu verwenden
#f(x,y,u)=(u-x*y)
#f(x,y,u)=x^3 + y^2 - u^2
f(x,y,u)=x^2 + y^2 + u^2 + cos(4*x) + cos(4*y) + cos(4*u) - 0.2
#f(x,y,u)=x^2+y^2+u^2-1
Fl=f(x,y,u)==0
show(LatexExpr("Fl: "),Fl)
def N3(x): return N(x,digits=3)

Fl: u^{2} + x^{2} + y^{2} + \cos\left(4 \, u\right) + \cos\left(4 \, x\right) + \cos\left(4 \, y\right) - 0.200000000000000 = 0

Als erstes legen wir nun die Richtung fest, in der sich die Ebene im 3-dimensionalen Raum bewegt.

Wir bestimmen für diesen Vektor $\vec{n}$ den zugehörigen Betrag $d_n = | \vec{n}|$ und Einheitsvektor $\vec{e_n}$ , so dass $\vec{n}=d_n\vec{e_n}$ ist. Dabei ist XYY $\vec{e_n}=\frac{1}{d_n}\vec{n} = \left( \begin{array}{c} e_{nx} \\ e_{ny} \\ e_{nu} \end{array}\right)$ .

Wir bestimmen für diesen Vektor $\vec{n}$ den zugehörigen Betrag $d_n = | \vec{n}|$ und Einheitsvektor $\vec{e_n}$ , so dass $\vec{n}=d_n\vec{e_n}$ ist. Dabei ist $\vec{e_n}=\frac{1}{d_n}\vec{n} = \begin{pmatrix}e_{nx} \\ e_{ny} \\e_{nu}\end{pmatrix}$ .

d_n= 1.73 , \vec{e_n}= \left(\begin{array}{r} 0.577 \\ 0.577 \\ 0.577 \end{array}\right)

Wir können nun die Ebene $E$ darstellen, in der unser 2-dimensionales Wesen R2D2 lebt. $\vec{n_e}$ ist ein Normaleneinheitsvektor der Ebene und $d_n$ ist der Abstand zwischen der Ebene und dem Koordinatenursprung.
Die Lage dieser Ebene im 3-dimensionalen $(x,y,u)$ -Raum können wir mit der Hessesche Normalform beschreiben als Menge aller Punkte $\vec{z}$ , die der Gleichung $\vec{z}\cdot \vec{e_n} = d_n$ genügen; das dabei verwendete Produkt ist das Skalarprodukt.
Die Ebene ist also durch die Angabe des Normalenvektors $\vec{n}$ eindeutig festgelegt.

Die durch $Fl$ definierte Fläche (grün) können wir zusammen mit der Ebene (blau) darstellen. Die Bewegung der Ebene können wir darstellen, indem wir den Abstand d der Ebene zum Koordinatenursprung verändern und die Ebene $E_d$ betrachten, die durch die Gleichung $\vec{z}\cdot \vec{e_n} = d$ definiert wird:

Fl: u^{2} + x^{2} + y^{2} + \cos\left(4 \, u\right) + \cos\left(4 \, x\right) + \cos\left(4 \, y\right) - 0.200000000000000 = 0

Geben wir nun R2D2 die Möglichkeit, die Kurve zu beschreiben, die unsere Fläche beim Durchgang durch dessen Welt - die Ebene $E$ - erzeugt. Dazu benötigt R2D2 ein Orthonormalsystem in $E$ als Koordinatensystem.
Es gibt dafür viele mögliche Koordinatensysteme. Wir konstruieren eines indem wir ein 3-dimensionals Orthonormalsystem im Koordinatenursprung bilden, dessen einer Vektor $\vec{e_n}$ ist. Dieses Koordinatensystem verschieben wir dann längs $\vec{n}$ in die Ebene. Der Vektor $\vec{e_n}+\vec{n}$ , der dabei entsteht, wird nicht mehr benötigt, die übrigen 2 bilden ein Orthonormalsystem für $E$ .
Die Ebene parallel zu $E$ , die durch den Koordinatenursprung geht, ist der Kern der linearen Abbildung $\vec{z}\mapsto \vec{z}\cdot \vec{e_n}$ , die durch die Matrix $M_n=\begin{pmatrix}e_{nx} \\ e_{ny} \\e_{nu}\end{pmatrix}$ beschrieben wird.
Wir berechnen eine Basis $[\vec{a_1},\vec{a_2}]$ für diesen Kern.

In [6]:

M_n=matrix(RR,e_n.column())
B=M_n.kernel().basis()
a_1=B[0];a_2=B[1]
show(LatexExpr("\\vec{a_1}="),N3(a_1.column()),LatexExpr(",\\vec{a_2}="),N3(a_2.column()))

\vec{a_1}= \left(\begin{array}{r} 1.00 \\ 0.000 \\ -1.00 \end{array}\right) ,\vec{a_2}= \left(\begin{array}{r} 0.000 \\ 1.00 \\ -1.00 \end{array}\right)

$[\vec{a_1},\vec{a_2}]$ orthonormalisieren wir mit dem Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren zu $[\vec{b_1},\vec{b_2}]$ .

\vec{b_1}= \left(\begin{array}{r} -0.707 \\ -0.000 \\ 0.707 \end{array}\right) ,\vec{b_2}= \left(\begin{array}{r} 0.408 \\ -0.816 \\ 0.408 \end{array}\right)

Damit ist $[\vec{b_1},\vec{b_2},\vec{e_n}]$ ein Orthonormalsystem für den 3-dimensionalen Raum, das wir mit dem Vektor $\vec{n}$ so verschieben können, dass $\vec{b_1}$ und $\vec{b_2}$ in die Ebene $E$ zu liegen kommen.
Die Richtungsvektoren vom Endpunkt von $\vec{n}$ zu $\vec{n}+\vec{b_1}, \vec{n}+\vec{b_2}$ bilden dann ein Koordinatensystem $K_n$ , dessen Koordinatenachsen in der Ebene $E$ liegen.