Dieses Material ist lizensiert unter der Lizemz Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License .
var('d,p,q,u,x,y') assume(x,'real');assume(y,'real');assume(u,'real') dmin=-2;dmax=2 pmin=-4;pmax=4 qmin=-4;qmax=4 xmin=-2;xmax=2 ymin=-2;ymax=2 umin=-2;umax=2 # Ändern Sie das Folgende, um eine andere Definition zu verwenden #f(x,y,u)=(u-x*y) #f(x,y,u)=x^3 + y^2 - u^2 f(x,y,u)=x^2 + y^2 + u^2 + cos(4*x) + cos(4*y) + cos(4*u) - 0.2 #f(x,y,u)=x^2+y^2+u^2-1 Fl=f(x,y,u)==0 show(LatexExpr("Fl: "),Fl) def N3(x): return N(x,digits=3)
Als erstes legen wir nun die Richtung fest, in der sich die Ebene im 3-dimensionalen Raum bewegt.
Wir bestimmen für diesen Vektor n den zugehörigen Betrag dn=∣n∣ und Einheitsvektor en, so dass n=dnen ist. Dabei ist XYY en=dn1n=⎝⎛enxenyenu⎠⎞.
Wir bestimmen für diesen Vektor n den zugehörigen Betrag dn=∣n∣ und Einheitsvektor en, so dass n=dnen ist. Dabei ist en=dn1n=⎝⎛enxenyenu⎠⎞.
Wir können nun die Ebene E darstellen, in der unser 2-dimensionales Wesen R2D2 lebt. ne ist ein Normaleneinheitsvektor der Ebene und dn ist der Abstand zwischen der Ebene und dem Koordinatenursprung.
Die Lage dieser Ebene im 3-dimensionalen (x,y,u)-Raum können wir mit der Hessesche Normalform beschreiben als Menge aller Punkte z, die der Gleichung z⋅en=dn genügen; das dabei verwendete Produkt ist das Skalarprodukt.
Die Ebene ist also durch die Angabe des Normalenvektors n eindeutig festgelegt.
Die durch Fl definierte Fläche (grün) können wir zusammen mit der Ebene (blau) darstellen. Die Bewegung der Ebene können wir darstellen, indem wir den Abstand d der Ebene zum Koordinatenursprung verändern und die Ebene Ed betrachten, die durch die Gleichung z⋅en=d definiert wird:
Geben wir nun R2D2 die Möglichkeit, die Kurve zu beschreiben, die unsere Fläche beim Durchgang durch dessen Welt - die Ebene E - erzeugt. Dazu benötigt R2D2 ein Orthonormalsystem in E als Koordinatensystem.
Es gibt dafür viele mögliche Koordinatensysteme. Wir konstruieren eines indem wir ein 3-dimensionals Orthonormalsystem im Koordinatenursprung bilden, dessen einer Vektor en ist. Dieses Koordinatensystem verschieben wir dann längs n in die Ebene. Der Vektor en+n, der dabei entsteht, wird nicht mehr benötigt, die übrigen 2 bilden ein Orthonormalsystem für E.
Die Ebene parallel zu E, die durch den Koordinatenursprung geht, ist der Kern der linearen Abbildung z↦z⋅en, die durch die Matrix Mn=⎝⎛enxenyenu⎠⎞ beschrieben wird.
Wir berechnen eine Basis [a1,a2] für diesen Kern.
M_n=matrix(RR,e_n.column()) B=M_n.kernel().basis() a_1=B[0];a_2=B[1] show(LatexExpr("\\vec{a_1}="),N3(a_1.column()),LatexExpr(",\\vec{a_2}="),N3(a_2.column()))
[a1,a2] orthonormalisieren wir mit dem Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren zu [b1,b2].
Damit ist [b1,b2,en] ein Orthonormalsystem für den 3-dimensionalen Raum, das wir mit dem Vektor n so verschieben können, dass b1 und b2 in die Ebene E zu liegen kommen.
Die Richtungsvektoren vom Endpunkt von n zu n+b1,n+b2 bilden dann ein Koordinatensystem Kn, dessen Koordinatenachsen in der Ebene E liegen.