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Author: Juan Carlos Bustamante
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Séance d'exercices du 15.09.2017

Séance d'exercices du 15.09.2017

AuthorJuan Carlos Bustamante
Date2017-09-13T14:13:35
Projectdb013a35-ea11-498b-a802-aaeadc1fa2a7
LocationExos-15-09-2017.sagews
Original fileExos-15-09-2017.sagews

Séance d'exercices du 15.09.2017

Exercice 1

On considère l'équation différentielle y(x)=x21y2\displaystyle y'(x) = \frac{x^2}{1-y^2}.

  • Tracez le champ des pentes (option)
  • Donner la solution générale (et en dessiner quelques courbes, en option)
  • Quelle est la solution qui vérifie y(0)=1y(0) = 1?

Exercice 2

Trouver la solution de l'équation différentielle cosydydx=tsiny1+t2\cos y \frac{dy}{dx} = \frac{-t \sin y}{1+t^2} qui vérifie y(1)=π/2y(1) = \pi / 2

Exercice 3

Un problème de désintégration radioactive

L'isotope radioactif carbone 14 est présent en petite quantité dans toutes les formes de vie, et il est constammment renouvelé jusqu'à ce que l'organisme meure, après quoi il se dégrade en carbone 12, qui est stable. La désintégration se fait à un taux proportionnel à la quantité de carbone 14 présent. La demi-vie d'un matériel radioactif est le temps nécessaire pour que la moitié d'une quantité donnée soit désintégrée. On dispose originalement d'une quantité de 1kg de carbone 14, et au bout de 100 ans il ne reste que 0.9879760628287870.987976062828787 kg.

  • Trouver une expression de la quantité de carbonne 14, q(t)q(t) en fonction du temps tt.
  • Quelle est la demi-vie du carbone 14?
  • En 1988 trois équipes de scientifiques ont découvert que le saint suaire de Turin, qui avant la réputation d'être le linceul dans lequel Jésus a été enterré, contenait 91% de la quantité de carbone contenue dans un tissu nouvellement fabriqué de la même étoffe. Quel est l'âge du saint suaire de Turin d'après ces données?

Exercice 4

Un problème de mélanges

On considère une citerne contenant Q0 kg.Q_0\ kg. de sel à l'instant t=0t=0 dissout dans 600 litres d'eau. On verse un mélange d'eau salée, dont la concentration est de 18 kg\frac{1}{8}\ kg de sel par litre d'eau, à un taux de 1212 litres par minute. Le tout est mélangé de façon très homogène.

  • On pompe l'eau (mélange homogène) vers l'extérieur de la citerne, au même taux qu'elle y entre. Trouvez une expression pour la concentration de sel dans la citerne en fonction de tt. Quel est le coportement asymptotique?
  • Supposez maintenant qu'on pompe l'eau à un rythme de 1515 litres par minute. Tout le processus prendra fin lorsque la citerne sera vide. Donnez une équation différentielle permettant de calculer la concentratin de sel en tout temps. Pouvez-vous la résoudre?

Exercice 5

Faites l'exercice B25