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Author: Samuel Lelièvre
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Description: M103 Algèbre linéaire - gr A2 et B3 - L1 MPI - U Paris-Saclay - TD19 - 2020-03-21 - exos 5.1 et 5.2

M103, 2020-04-21

  • auteur: Samuel Lelièvre
  • licence: CC BY-SA-NC 4.0
  • date: 2020-04-21

Université Paris-Saclay. Licence Sciences et technologies. L1 MPI.

Cours Math103, TD du 21 avril 2020, groupes A2 et B3.

Nous corrigeons le début de la feuille 5.

On utilise Blackboard Collaborate pour la vidéo et le son, via le site "ecampus.paris-saclay.fr".

On utilise la présente feuille Jupyter avec le noyau SageMath en guise de tableau.

Exercice 5.1

In [1]:
A = matrix([[1, 2], [2, 3]]) A
[1 2] [2 3]
In [2]:
B = matrix([[-3, 2], [2, -1]]) B
[-3 2] [ 2 -1]

On définit ϕ:MAMB\phi: M \mapsto A \cdot M \cdot B.

In [3]:
phi = lambda M: A * M * B

a.

Montrons que ϕ\phi est linéaire.

Cela revient à montrer que ϕ\phi respecte la somme et la mise à l'échelle.

Ou si l'on préfère, que ϕ\phi respecte les combinaisons linéaires.

Ou si l'on préfère, que ϕ\phi respecte les combinaisons linéaires réduites.

On veut montrer que si MM et NN sont des matrices dans M2(R)\mathcal{M}_2(\mathbb{R}), alors:

  • ϕ(M+λN)=ϕ(M)+λϕ(N)\phi(M + \lambda \cdot N) = \phi(M) + \lambda \cdot \phi(N)

On écrit:

ϕ(M+λN)=A(M+λN)B\phi(M + \lambda \cdot N) = A \cdot (M + \lambda \cdot N) \cdot B

ϕ(M+λN)=A((M+λN)B)\phi(M + \lambda \cdot N) = A \cdot ((M + \lambda \cdot N) \cdot B)

ϕ(M+λN)=A((MB)+((λN)B))\phi(M + \lambda \cdot N) = A \cdot ((M \cdot B) + ((\lambda \cdot N) \cdot B))

ϕ(M+λN)=A(MB+λNB)\phi(M + \lambda \cdot N) = A \cdot (M \cdot B + \lambda \cdot N \cdot B)

ϕ(M+λN)=A(MB)+A(λNB)\phi(M + \lambda \cdot N) = A \cdot (M \cdot B) + A \cdot (\lambda \cdot N \cdot B)

ϕ(M+λN)=(AMB)+λ(ANB)\phi(M + \lambda \cdot N) = (A \cdot M \cdot B) + \lambda \cdot (A \cdot N \cdot B)

ϕ(M+λN)=ϕ(M)+λϕ(N)\phi(M + \lambda \cdot N) = \phi(M) + \lambda \cdot \phi(N)

On a montré que ϕ\phi est une application linéaire.

b.

On calcule ϕ(A)\phi(A):

In [4]:
A * A * B
[1 2] [2 3]

On reconnait AA. On a donc ϕ(A)=A\phi(A) = A.

Remarque: on peut calculer ABA \cdot B ou BAB \cdot A:

In [8]:
A * B, B * A
( [1 0] [1 0] [0 1], [0 1] )

On trouve la matrice identité dans les deux cas.

BB est donc l'inverse de AA.

Note: il suffit de vérifier ABA \cdot B ou BAB \cdot A, inutile de calculer les deux.

Remarque: inverse d'une matrice de taille 2×22 \times 2.

La matrice A=[abcd]A = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} est inversible si et seulement si D=adbcD = a\cdot d - b \cdot c est non nul, et dans ce cas, son inverse est (1/D)[dbca](1/D) \cdot \begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a \\ \end{bmatrix}.

Exo 5.1, question 2

a.

ϕ:ER2,P(P(1),P(2))\phi: E \to \mathbb{R}^2,\quad P \mapsto (P(1), P'(2)).

Si PP et QQ sont deux fonctions polynomiales, et si λ\lambda est un réel, alors

ϕ(P+λQ)=((P+λQ)(1),(P+λQ)(2))\phi(P + \lambda \cdot Q) = ((P + \lambda \cdot Q)(1), (P + \lambda \cdot Q)'(2))

ϕ(P+λQ)=((P(1)+λQ(1)),(P+λQ)(2))\phi(P + \lambda \cdot Q) = ((P(1) + \lambda \cdot Q(1)), (P' + \lambda \cdot Q')(2))

ϕ(P+λQ)=((P(1)+λQ(1)),(P(2)+λQ(2)))\phi(P + \lambda \cdot Q) = ((P(1) + \lambda \cdot Q(1)), (P'(2) + \lambda \cdot Q'(2)))

Pour des vecteurs, (a+b,c+d)=(a,c)+(b,d)(a + b, c + d) = (a, c) + (b, d).

ϕ(P+λQ)=(P(1),P(2))+(λQ(1),λQ(2))\phi(P + \lambda \cdot Q) = (P(1), P'(2)) + (\lambda \cdot Q(1), \lambda \cdot Q'(2))

ϕ(P+λQ)=(P(1),P(2))+λ(Q(1),Q(2))\phi(P + \lambda \cdot Q) = (P(1), P'(2)) + \lambda \cdot (Q(1), Q'(2))

ϕ(P+λQ)=ϕ(P)+λϕ(Q)\phi(P + \lambda \cdot Q) = \phi(P) + \lambda \cdot \phi(Q).

5.1, Q 2.b.

Pour P(t)=t1P(t) = t - 1, on a P(1)=0P(1) = 0, et P(t)=1P'(t) = 1, donc P(2)=1P'(2) = 1.

Pour Q(t)=(t2)2Q(t) = (t - 2)^2, on a Q(1)=1Q(1) = 1, et Q(t)=2(t2)1Q'(t) = 2 \cdot (t - 2) \cdot 1, donc Q(2)=0Q'(2) = 0.

On a donc, pour ces deux polynômes: ϕ(P)=(0,1)\phi(P) = (0, 1), et ϕ(Q)=(1,0)\phi(Q) = (1, 0).

On cherche un polynôme RR tel que ϕ(R)=(1,1)\phi(R) = (1, -1).

On choisit R=QPR = Q - P, et on a ϕ(R)=ϕ(Q)ϕ(P)=(1,0)(0,1)=(1,1)\phi(R) = \phi(Q) - \phi(P) = (1, 0) - (0, 1) = (1, -1).

On calcule: R(t)=Q(t)P(t)=(t2)2(t1)=t23t+5R(t) = Q(t) - P(t) = (t - 2)^2 - (t - 1) = t^2 - 3 \cdot t + 5.

Exo 5.1, Q 3.a.

EE est l'espace des fonctions continues de [0,1][0, 1] dans R\mathbb{R}.

ϕ:ER,f01f(t)etdt\phi : E \to \mathbb{R},\quad f \mapsto \int_0^1 f(t) e^t dt.

Montrons que ϕ\phi est linéaire.

Soient ff et gg deux fonctions continues de [0,1][0, 1] dans R\mathbb{R}, et λ\lambda un réel.

ϕ(f+λg)=01(f+λg)(t)etdt\phi(f + \lambda \cdot g) = \int_0^1 (f + \lambda \cdot g)(t) e^t dt

ϕ(f+λg)=01(f(t)+λg(t))etdt\phi(f + \lambda \cdot g) = \int_0^1 (f(t) + \lambda \cdot g(t)) e^t dt

ϕ(f+λg)=01(f(t)et+λg(t)et)dt\phi(f + \lambda \cdot g) = \int_0^1 (f(t) \cdot e^t + \lambda \cdot g(t) \cdot e^t) dt

ϕ(f+λg)=01(f(t)et)dt+01(λg(t)et)dt\phi(f + \lambda \cdot g) = \int_0^1 (f(t) \cdot e^t) dt + \int_0^1 (\lambda \cdot g(t) \cdot e^t) dt

ϕ(f+λg)=01(f(t)et)dt+λ01(g(t)et)dt\phi(f + \lambda \cdot g) = \int_0^1 (f(t) \cdot e^t) dt + \lambda \cdot \int_0^1 (g(t) \cdot e^t) dt

ϕ(f+λg)=ϕ(f)+λϕ(g)\phi(f + \lambda \cdot g) = \phi(f) + \lambda \cdot \phi(g)

On a montré que ϕ\phi est linéaire.

Exo 5.1, Q 3.b.

Le noyau de ϕ\phi c'est l'ensemble des éléments de EE (l'espace vectoriel de départ de ϕ\phi) qui sont envoyés sur 00 par ϕ\phi.

kerϕ={fE,ϕ(f)=0}\ker \phi = \{ f \in E, \phi(f) = 0 \}

Si on prend pour ff la fonction nulle, alors ϕ(f)=01(0et)dt=0\phi(f) = \int_0^1 (0 \cdot e^t) dt = 0.

Si on note gg la fonction g(t)=1g(t) = 1, alors ϕ(g)=01etdt=[et]01=e1\phi(g) = \int_0^1 e^t dt = [e^t]_0^1 = e - 1.

Si on note h(t)=eth(t) = e^{-t}, alors ϕ(h)=01(etet)dt=011dt=1\phi(h) = \int_0^1 (e^{-t} e^t) dt = \int_0^1 1 dt = 1.

ϕ(g+h)=ϕ(g)+ϕ(h)=e1+1=e\phi(g + h) = \phi(g) + \phi(h) = e - 1 + 1 = e

ϕ((e1)h)=(e1)ϕ(h)=(e1)1=e1\phi((e - 1)h) = (e - 1)\phi(h) = (e - 1) 1 = e - 1

Si k=g(e1)hk = g - (e - 1) \cdot h,

ϕ(k)=ϕ(g(e1) h)=ϕ(g)ϕ((e1)h)=0\phi(k) = \phi(g - (e - 1) \cdot h) = \phi(g) - \phi((e - 1) \cdot h) = 0.

Vérifions que kk n'est pas la fonction nulle:

In [7]:
graphe_f = plot(lambda t: 0, (0, 1), color='red') graphe_k = plot(lambda t: 1 - (e - 1)*exp(-t), (0, 1)) graphe_f + graphe_k

On a donc trouvé deux fonctions différentes:

  • f:t0f : t \mapsto 0
  • k:t1(e1)etk : t \mapsto 1 - (e - 1) \cdot e^{-t}

qui sont toutes deux dans le noyau de ϕ\phi.

Exo 5.2.

f:R4R3f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3,

f(X)=AXf(X) = A \cdot X.

In [8]:
A = matrix(QQ, 3, 4, [1, -1, 3, -1, 2, 1, 3, 4, -1, 2, -4, 3])
In [9]:
A
[ 1 -1 3 -1] [ 2 1 3 4] [-1 2 -4 3]
In [11]:
x, y, z, t = SR.var('x, y, z, t')
In [12]:
X = vector([x, y, z, t])
In [13]:
X
(x, y, z, t)
In [14]:
X.column()
[x] [y] [z] [t]
In [18]:
A * X
(-t + x - y + 3*z, 4*t + 2*x + y + 3*z, 3*t - x + 2*y - 4*z)
In [19]:
(A * X).column()
[ -t + x - y + 3*z] [4*t + 2*x + y + 3*z] [3*t - x + 2*y - 4*z]

On cherche le noyau de ff

  • c'est-à-dire l'ensemble des éléments envoyés sur 00
  • c'est-à-dire l'ensemble des XR4X \in \mathbb{R^4} tels que f(X)=0f(X) = 0
  • c'est-à-dire l'ensemble des XR4X \in \mathbb{R^4} tels que AX=0A \cdot X = 0

Les vecteurs du noyau ont pour coordonnées les coefficients de combinaisons linéaires nulles des colonnes de AA.

L'image de AA est engendrée par les colonnes de AA.

In [21]:
A
[ 1 -1 3 -1] [ 2 1 3 4] [-1 2 -4 3]
In [22]:
A.echelon_form()
[ 1 0 2 1] [ 0 1 -1 2] [ 0 0 0 0]

Il y a

  • deux inconnues principales (deux pivots): xx et yy
  • deux inconnues secondaires: zz et tt

On prend les inconnues secondaires comme paramètres.

Les solutions de AX=0A \cdot X = 0 sont les X=(x,y,z,t)X = (x, y, z, t) pour lesquels:

  • x=2ztx = -2 z - t
  • y=z2ty = z - 2 t
  • z=zz = z
  • t=tt = t

Si on préfère, les solutions sont les

[2ztz2tzt]\begin{bmatrix} -2 z - t \\ z - 2 t \\ z \\ t \\ \end{bmatrix}

L'ensemble des solutions est: {z[2110]+t[1201],zR,tR}\left\{ z \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix},\quad z \in \mathbb{R}, t \in \mathbb{R} \right\}

Une base du noyau est: ([2110],  [1201])\left( \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix},\; \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \right)

Le noyau est de dimension 22, l'image est de dimension 22.

La somme des deux vaut 44 qui est la dimension de l'espace de départ R4\mathbb{R}^4.

Comme base de l'image de AA, on peut prendre les deux premières colonnes de AA.

Base de Im(A)\operatorname{Im}(A): ([121],  [112])\left( \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \\ \end{bmatrix},\; \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix} \right)

Si on échelonne la matrice augmentée, pour résoudre

non plus AX=0A X = 0 mais AX=BA X = B, avec B=(a,b,c)B = (a, b, c).

Trouvons une équation de Im(A)\operatorname{Im}(A) en coordonnées aa, bb, cc.

In [15]:
a, b, c = SR.var('a b c')
In [16]:
B = vector([a, b, c])
In [17]:
A_aug = matrix(SR, 3, 5, [1, -1, 3, -1, a, 2, 1, 3, 4, b, -1, 2, -4, 3, c])
In [18]:
A_aug
[ 1 -1 3 -1 a] [ 2 1 3 4 b] [-1 2 -4 3 c]

Dans sage les lignes et colonnes sont numérotées à partir de 0.

In [20]:
A_aug[0] # ligne 0, c'est-à-dire la première ligne.
(1, -1, 3, -1, a)
In [21]:
A_aug[1] -= 2 * A_aug[0]
In [22]:
A_aug[2] -= (-1) * A_aug[0]
In [23]:
A_aug
[ 1 -1 3 -1 a] [ 0 3 -3 6 -2*a + b] [ 0 1 -1 2 a + c]
In [24]:
A_aug[2] = 3 * A_aug[2] - 1 * A_aug[1]
In [27]:
show(A_aug)
(1131a03362a+b00005ab+3c)\left(\begin{array}{rrrrr} 1 & -1 & 3 & -1 & a \\ 0 & 3 & -3 & 6 & -2 \, a + b \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \, a - b + 3 \, c \end{array}\right)

Le système est échelonné.

Il est compatible si et seulement si 5ab+3c=05 a - b + 3 c = 0.

Le plan Im(A)\operatorname{Im}(A) est le plan de R3\mathbb{R}^3 d'équation 5ab+3c=05 a - b + 3 c = 0.

Injectivité et surjectivité

«ff est injective» signifie que des éléments distincts ont des images distinctes. Autrement dit, un élément de l'ensemble d'arrivée a au plus un antécédent.

«ff est surjective» signifie que tous les éléments de l'ensemble d'arrivée sont atteints. Autrement dit, un élément de l'ensemble d'arrivée a au moins un antécédent.

«ff est bijective» signifie que ff est à la fois injective et surjective. Autrement dit, un élément de l'ensemble d'arrivée a exactement un antécédent.

Une fonction ff peut être injective et surjective, ou bien injective mais pas surjective, ou bien surjective mais pas injective, ou bien ni injective ni surjective.

Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit au vecteur nul.

Ici, l'application ff est linéaire. Son noyau est un sous-espace vectoriel de dimension 22 de R4\mathbb{R}^4, donc il n'est pas réduit au vecteur nul.

On conclut que ff n'est pas injective.

Une application linéaire est surjective si et seulement si son image est l'espace d'arrivée tout entier. C'est à dire que son rang est la dimension de l'espace d'arrivée.

Ici, l'application ff est linéaire, et son image est un sous-espace vectoriel de dimension 22 dans R3\mathbb{R}^3.

On conclut que ff n'est pas surjective.

Exo 5.2, Q 3.

On définit:

  • E=Vect((3,0,1,0),(0,1,0,1))E = \operatorname{Vect}((3, 0, -1, 0), (0, 1, 0, -1))
  • F=f(E)F = f(E).

Ici EE est de dimension 22.

Donc FF peut être de dimension 00, 11 ou 22.

En fait, F=Vect(f(u1),f(u2))F = \operatorname{Vect}(f(u_1), f(u_2)).

Calculons f(u1)f(u_1) et f(u2)f(u_2):

In [29]:
u_1 = vector([3, 0, -1, 0]) A * u_1
(0, 3, 1)
In [30]:
u_2 = vector([0, 1, 0, -1]) A * u_2
(0, -3, -1)

On voit que

  • f(u1)f(u_1) n'est pas nul
  • f(u2)=f(u1)f(u_2) = -f(u_1). Donc f(u2)f(u_2) est colinéaire à f(u1)f(u_1).

Donc F=Vect(u1,u2)F = \operatorname{Vect}(u_1, u_2) est de dimension 11.

FF est une droite de R3\mathbb{R^3}, de vecteur directeur v0=f(u1)v_0 = f(u_1), c'est-à-dire v0=(0,3,1)v_0 = (0, 3, 1).

Exo 5.2, Q 3.b.

On note D=Eker(F)D = E \cap \operatorname{ker}(F).

On a vu que E=Vect(u1,u2)E = \operatorname{Vect}(u_1, u_2) et Ker(f)=Vect(n1,n2)\operatorname{Ker}(f) = \operatorname{Vect}(n_1, n_2), où

u1=[3010]u_1 = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}, u2=[0101]u_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \\ \end{bmatrix}, n1=[2110]n_1 = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}, n2=[1201]n_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}.

In [31]:
C = matrix([[3, 0, -2, -1], [0, 1, 1, -2], [-1, 0, 1, 0], [0, -1, 0, 1]]) C
[ 3 0 -2 -1] [ 0 1 1 -2] [-1 0 1 0] [ 0 -1 0 1]
In [32]:
C.echelon_form()
[ 1 0 0 -1] [ 0 1 0 -1] [ 0 0 1 -1] [ 0 0 0 0]

En échelonnant CC, on trouve trois inconnues principales et une inconnue secondaire. Donc le noyau est de dimension 1.

Le noyau de CC est l'ensemble des vecteurs [tttt]\begin{bmatrix} t \\ t \\ t \\ t \\ \end{bmatrix}, c'est-à-dire des vecteurs t[1111]t \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}.

Une base de DD est donc ([1111])\left( \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right)

Comme f(u1)0f(u_1) \neq 0, u1∉Du_1 \not \in D.

Puisque EE est de dimension 22, la droite D=Vect(u1)D' = \operatorname{Vect}(u_1) est un supplémentaire de la droite DD dans le plan EE.

On a E=DDE = D \oplus D'.

Rappel: si EE est un espace vectoriel et si FF et GG sont des sous-espaces vectoriels de EE, on dit que FF et GG sont supplémentaires dans EE si leur intersection est nulle (on dit aussi qu'ils «sont en somme directe») et leur somme remplit EE.

On écrit: E=FGE = F \oplus G.

In [ ]: