M103 Algèbre linéaire - gr A2 et B3 - L1 MPI - U Paris-Saclay - TD19 - 2020-03-21 - exos 5.1 et 5.2
M103, 2020-04-21
auteur: Samuel Lelièvre
licence: CC BY-SA-NC 4.0
date: 2020-04-21
Université Paris-Saclay. Licence Sciences et technologies. L1 MPI.
Cours Math103, TD du 21 avril 2020, groupes A2 et B3.
Nous corrigeons le début de la feuille 5.
On utilise Blackboard Collaborate pour la vidéo et le son, via le site "ecampus.paris-saclay.fr".
On utilise la présente feuille Jupyter avec le noyau SageMath en guise de tableau.
Exercice 5.1
On définit .
a.
Montrons que est linéaire.
Cela revient à montrer que respecte la somme et la mise à l'échelle.
Ou si l'on préfère, que respecte les combinaisons linéaires.
Ou si l'on préfère, que respecte les combinaisons linéaires réduites.
On veut montrer que si et sont des matrices dans , alors:
On écrit:
On a montré que est une application linéaire.
b.
On calcule :
On reconnait . On a donc .
Remarque: on peut calculer ou :
On trouve la matrice identité dans les deux cas.
est donc l'inverse de .
Note: il suffit de vérifier ou , inutile de calculer les deux.
Remarque: inverse d'une matrice de taille .
La matrice est inversible si et seulement si est non nul, et dans ce cas, son inverse est .
Exo 5.1, question 2
a.
.
Si et sont deux fonctions polynomiales, et si est un réel, alors
Pour des vecteurs, .
.
5.1, Q 2.b.
Pour , on a , et , donc .
Pour , on a , et , donc .
On a donc, pour ces deux polynômes: , et .
On cherche un polynôme tel que .
On choisit , et on a .
On calcule: .
Exo 5.1, Q 3.a.
est l'espace des fonctions continues de dans .
.
Montrons que est linéaire.
Soient et deux fonctions continues de dans , et un réel.
On a montré que est linéaire.
Exo 5.1, Q 3.b.
Le noyau de c'est l'ensemble des éléments de (l'espace vectoriel de départ de ) qui sont envoyés sur par .
Si on prend pour la fonction nulle, alors .
Si on note la fonction , alors .
Si on note , alors .
Si ,
.
Vérifions que n'est pas la fonction nulle:
On a donc trouvé deux fonctions différentes:
qui sont toutes deux dans le noyau de .
Exo 5.2.
,
.
On cherche le noyau de
c'est-à-dire l'ensemble des éléments envoyés sur
c'est-à-dire l'ensemble des tels que
c'est-à-dire l'ensemble des tels que
Les vecteurs du noyau ont pour coordonnées les coefficients de combinaisons linéaires nulles des colonnes de .
L'image de est engendrée par les colonnes de .
Il y a
deux inconnues principales (deux pivots): et
deux inconnues secondaires: et
On prend les inconnues secondaires comme paramètres.
Les solutions de sont les pour lesquels:
Si on préfère, les solutions sont les
L'ensemble des solutions est: $\left{ z
t ,\quad z \in \mathbb{R}, t \in \mathbb{R} \right} $
Une base du noyau est:
Le noyau est de dimension , l'image est de dimension .
La somme des deux vaut qui est la dimension de l'espace de départ .
Comme base de l'image de , on peut prendre les deux premières colonnes de .
Base de :
Si on échelonne la matrice augmentée, pour résoudre
non plus mais , avec .
Trouvons une équation de en coordonnées , , .
Dans sage les lignes et colonnes sont numérotées à partir de 0.
Le système est échelonné.
Il est compatible si et seulement si .
Le plan est le plan de d'équation .
Injectivité et surjectivité
« est injective» signifie que des éléments distincts ont des images distinctes. Autrement dit, un élément de l'ensemble d'arrivée a au plus un antécédent.
« est surjective» signifie que tous les éléments de l'ensemble d'arrivée sont atteints. Autrement dit, un élément de l'ensemble d'arrivée a au moins un antécédent.
« est bijective» signifie que est à la fois injective et surjective. Autrement dit, un élément de l'ensemble d'arrivée a exactement un antécédent.
Une fonction peut être injective et surjective, ou bien injective mais pas surjective, ou bien surjective mais pas injective, ou bien ni injective ni surjective.
Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit au vecteur nul.
Ici, l'application est linéaire. Son noyau est un sous-espace vectoriel de dimension de , donc il n'est pas réduit au vecteur nul.
On conclut que n'est pas injective.
Une application linéaire est surjective si et seulement si son image est l'espace d'arrivée tout entier. C'est à dire que son rang est la dimension de l'espace d'arrivée.
Ici, l'application est linéaire, et son image est un sous-espace vectoriel de dimension dans .
On conclut que n'est pas surjective.
Exo 5.2, Q 3.
On définit:
.
Ici est de dimension .
Donc peut être de dimension , ou .
En fait, .
Calculons et :
On voit que
n'est pas nul
. Donc est colinéaire à .
Donc est de dimension .
est une droite de , de vecteur directeur , c'est-à-dire .
Exo 5.2, Q 3.b.
On note .
On a vu que et , où
, , , .
En échelonnant , on trouve trois inconnues principales et une inconnue secondaire. Donc le noyau est de dimension 1.
Le noyau de est l'ensemble des vecteurs , c'est-à-dire des vecteurs .
Une base de est donc
Comme , .
Puisque est de dimension , la droite est un supplémentaire de la droite dans le plan .
On a .
Rappel: si est un espace vectoriel et si et sont des sous-espaces vectoriels de , on dit que et sont supplémentaires dans si leur intersection est nulle (on dit aussi qu'ils «sont en somme directe») et leur somme remplit .
On écrit: .