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Author: Samuel Lelièvre
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Description: M103 «Algèbre linéaire», L1 MPI U Paris-Saclay, TD 21 groupes A2 et B3. 2020-04-27, 15:45--17:45.

M103, 2020-04-27, 15:45--17:45, TD 21



Université Paris-Saclay. Licence Sciences et technologies. L1 MPI.


Cours Math103 «Algèbre linéaire», TD 21, groupes A2 et B3.

On travaille la feuille 5. On corrige une partie de l'exercice 5.7.

On utilise

  • pour la voix, l'outil Collaborate via ecampus.paris-saclay.fr
  • comme tableau, cette feuille Jupyter avec le noyau SageMath

Préliminaires techniques:

  • quelques définitions LaTeX pour faciliter la saisie (cachées dans la source de cette cellule de texte),
  • et quelques réglages d'affichage de la feuille Jupyter.
In [1]:
%display unicode_art

Exercice 5.7. Caractérisation d'une bijection linéaire

N.B. Je saute les exos 5.5. et 5.6 qui ont une étoile.

Avançons déjà sur les exos sans étoile.

  • f:R2R2f : \R^2 \to \R^2 donnée par f(x,y)=(2x5y,7x)f(x, y) = (2 x - 5 y, 7 x)

ker(f)={uR2,f(u)=0}\ker(f) = \{ u \in \R^2,\quad f(u) = 0\}

Un vecteur u=(x,y)u = (x, y) est dans ker(f)\ker(f) si et seulement si:

  • 2x5y=02 x - 5 y = 0
  • 7x=07 x = 0

On résout facilement et on voit que la seule solution est (0,0)(0, 0).

Donc ker(f)={0}\ker(f) = \{ 0 \}.

Comme ff est une application linéaire, cela nous dit que ff est injective.

Comme de plus la dimension de l'espace d'arrivée est la même que celle de l'espace de départ, on conclut que ff est également surjective.

Donc ff est bijective.

Détail. On utilise le théorème du rang. Le théorème du rang dit:

Pour une application linéaire, la dimension de l'espace de départ est la somme de la dimension du noyau et de la dimension de l'image.

Ici la dimension de l'espace de départ, c'est la dimension de R2\R^2, c'est 22.

La dimension du noyau est 00 d'après ce qu'on vient de voir.

La dimension de l'image est donc... 22.

L'image de ff est donc un sous-espace vectoriel de dimension 22 de l'espace d'arrivée de ff.

L'espace d'arrivée de ff c'est R2\R^2, qui est de dimension 22.

Donc est l'espace d'arrivée tout entier.

Autrement dit, chaque point de l'espace d'arrivée est l'image d'au moins un point de l'espace de départ.

Autrement dit, ff est surjective.

Comme ff est à la fois injective et surjective, elle est bijective.

Matrice de ff dans la base canonique.

Par définition c'est la matrice dont les colonnes sont les images des vecteurs de base, exprimés dans la base.

Ici f([xy])=[2x5y7x]f( \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} ) = \begin{bmatrix} 2 x - 5 y \\7 x \end{bmatrix} donc sa matrice est la matrice AA suivante:

In [4]:
A = matrix([[2, -5], [7, 0]]) A
⎛ 2 -5⎞ ⎝ 7 0⎠

La première colonne est f([10])=[27]=2[10]+7[01]f( \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} ) = \begin{bmatrix} 2 \\ 7 \end{bmatrix} = 2 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + 7 \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}

La deuxième colonne est f([01])=[50]=5[10]+0[01]f( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} ) = \begin{bmatrix} -5 \\ 0 \end{bmatrix} = -5 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + 0 \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}

Puisque ff est bijective, la matrice de ff est inversible.

Son inverse est la matrice de la bijection réciproque.

Pour calculer l'inverse, on peut utiliser une petite formule spéciale matrice de taille deux.

Le déterminant d'une matrice A=[abcd]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} est D=adbcD = a \cdot d - b \cdot c.

Ici le déterminant de AA est D=adbc=207(5)=35D = a \cdot d - b \cdot c = 2 \cdot 0 - 7 \cdot (-5) = 35.

L'inverse de AA est donc (1/D)[dbca]=(1/35)[0572]=[01/71/52/35](1/D) \begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} = (1/35) \begin{bmatrix}0 & 5 \\ -7 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 1/7 \\ -1/5 & 2/35 \end{bmatrix}.

Sinon, on peut écheloner et réduire la matrice augmentée par l'identité:

In [5]:
I = identity_matrix(2)
In [8]:
A_aug = block_matrix([A, I], nrows=1).change_ring(QQ) A_aug
⎛ 2 -5│ 1 0⎞ ⎝ 7 0│ 0 1⎠
In [9]:
A_aug.echelon_form()
⎛ 1 0│ 0 1/7⎞ ⎝ 0 1│-1/5 2/35⎠
In [10]:
A.inverse()
⎛ 0 1/7⎞ ⎝-1/5 2/35⎠
In [ ]:
In [ ]:

Fonction suivante

  • f:R3R3f : \R^3 \to \R^3 donnée par f(x,y,z)=(4x+y+4z,3x+y+4z,2x+4yz)f(x, y, z) = (4 x + y + 4 z, 3 x + y + 4 z, 2 x + 4 y - z)

Si on préfère:

f([xyz])=[4x+y+4z3x+y+4z2x+4yz]f( \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} ) = \begin{bmatrix} 4 x + y + 4 z \\ 3 x + y + 4 z \\ 2 x + 4 y - z \end{bmatrix}

Calculer le noyau de ff revient à résoudre le système...

En faisant L1L2L_1 - L_2 on obtient x=0x = 0.

En substituant dans la troisième ligne on obtient 4yz=04 y - z = 0 donc z=4yz = 4 y.

En substituant dans la deuxième ligne on obtient y+44y=0y + 4 \cdot 4 y = 0 c'est-à-dire 17y=017 y = 0 donc y=0y = 0.

D'où z=4y=0z = 4 y = 0.

En tout, on a donc ker(f)={(0,0,0)}={0}\ker(f) = \{ (0, 0, 0) \} = \{ 0 \}.

Le noyau de ff est réduit au vecteur nul. Ainsi ce noyau est de dimension 00.

Et ff est injective.

La dimension de l'espace de départ est 33.

Par le théorème du rang, on a donc .

Comme l'espace d'arrivée est R3\R^3, qui est de dimension 33,

cela nous dit que remplit l'espace d'arrivée.

Donc ff est surjective.

Comme ff est à la fois injective et surjective, elle est donc bijective.

La matrice de ff est:

In [14]:
A = matrix([[4, 1, 4], [3, 1, 4], [2, 4, -1]]) A
⎛ 4 1 4⎞ ⎜ 3 1 4⎟ ⎝ 2 4 -1⎠

Pour calculer l'inverse de A, on l'augmente par la matrice identité, puis on échelonne et on réduit.

In [10]:
I = identity_matrix(3) A_aug = block_matrix([A, I], nrows=1).change_ring(QQ) A_aug
⎛ 4 1 4│ 1 0 0⎞ ⎜ 3 1 4│ 0 1 0⎟ ⎝ 2 4 -1│ 0 0 1⎠
In [11]:
A_aug.echelon_form()
⎛ 1 0 0│ 1 -1 0⎞ ⎜ 0 1 0│-11/17 12/17 4/17⎟ ⎝ 0 0 1│-10/17 14/17 -1/17⎠

L'inverse de AA est donc:

A1=[11011/1712/174/1710/1714/171/17]A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -11/17 & 12/17 & 4/17 \\ -10/17 & 14/17 & -1/17 \end{bmatrix}

Rappel:

si ff est une application linéaire bijective, de matrice AA, alors la bijection réciproque f1f^{-1} de ff a pour matrice la matrice inverse de AA, qu'on note A1A^{-1}.

Explication:

Si ff est linéaire et bijective, on montre que f1f^{-1} est aussi linéaire.

La matrice de la composée de deux applications linéaires et le produit des matrices de ces applications linéaires.

Ici cela signifie, en notant BB la matrice de f1f^{-1}, que la matrice de ff1f \circ f^{-1} est ABA \cdot B.

Mais ff1f \circ f^{-1} est la transformation «identité», dont la matrice est la matrice identité, et donc AB=IA \cdot B = I.

Cela signifie que B=A1B = A^{-1}.

In [ ]:
In [ ]:

Exo 5.7, Q 2.

  • f:R2R2f : \R^2 \to \R^2 donnée par f(x,y)=(5x+3y,3x+2y)f(x, y) = (5 x + 3 y, 3 x + 2 y).

La matrice de ff est

A=[5332] A = \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}

Les colonnes de AA sont linéairement indépendantes (il y a deux colonnes et elles ne sont pas colinéaires).

Donc AA est de rang 22.

Puisque l'espace d'arrivée est de dimension 22, l'image de AA, de dimension 22 aussi, remplit l'espace d'arrivée.

Donc AA est surjective.

Par le théorème du rang, la dimension du noyau vaut la dimension de l'espace de départ moins le rang.

Ici l'espace de départ est de dimension 22, donc le noyau est de dimension 00.

Autrement dit ker(f)={0}\ker(f) = \{ 0 \}. Donc ff est injective.

En tout, ff est bijective.

Pour trouver l'inverse de la matrice de ff, on peut augmenter, échelonner, réduire.

In [15]:
A = matrix(QQ, [[5, 3], [3, 2]]) I = identity_matrix(2, QQ)
In [16]:
A_aug = block_matrix([A, I], nrows=1) A_aug
⎛5 3│1 0⎞ ⎝3 2│0 1⎠
In [17]:
A_aug.echelon_form()
⎛ 1 0│ 2 -3⎞ ⎝ 0 1│-3 5⎠

On saute la deuxième fonction ff de la question 2.

Exo 5.7, Q 3.

  • f:R3R2f : \R^3 \to \R^2, f(x,y,z)=(x+y+z,xz)f(x, y, z) = (x + y + z, x - z).
In [15]:
A = matrix(QQ, [[1, 1, 1], [1, 0, -1]]) A
⎛ 1 1 1⎞ ⎝ 1 0 -1⎠

Échelonnons la matrice AA.

In [16]:
A.echelon_form()
⎛ 1 0 -1⎞ ⎝ 0 1 2⎠

La forme échelonnée réduite montre qu'il y a

  • deux pivots, donc deux inconnues principales, xx, et yy
  • une inconnue secondaire, zz.

Les solutions du système homogène f(x,y,z)=0f(x, y, z) = 0 peuvent donc être paramétrées par zz.

Si on fixe la valeur de zz, les équations du système échelonné réduit donnent xx et yy en fonction de zz:

on a donc, si f(x,y,z)=0f(x, y, z) = 0, alors (x,y,z)=(z,2z,z)(x, y, z) = (z, -2z, z).

Donc

Le noyau est donc de dimension 11, engendré par [121] \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} qu'on obtient en posant z=1z = 1.

En particulier, le noyau n'est pas réduit au vecteur nul, donc ff n'est pas injective.

Remarque: on pouvait savoir tout de suite que ff ne serait pas injective.

En effet, ff va de R3\R^3 dans R2\R^2, et le théorème du rang dit que .

Et puisque est un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée, qui est R2\R^2, la dimension de est au maximum 22.

Donc la dimension du noyau est au moins 11. Donc ff n'est pas injective

Les deux premières colonnes de AA sont les deux vecteurs de la base canonique de l'espace d'arrivée R2\R^2.

Par combinaisons linéaires on peut obtenir n'importe quel vecteur de l'espace d'arrivée.

Donc ff est surjective.

In [ ]:
In [ ]:
In [ ]:
In [ ]: