%matplotlib inline
from pandas import DataFrame
from IPython.display import display,Math,clear_output
from numpy import array,linspace,zeros
from sympy import latex
import matplotlib.pyplot as plt
from IPython.display import HTML

HTML('''<script>
code_show=true; 
function code_toggle() {
 if (code_show){
     $('div.input').hide();
 } else {
     $('div.input').show();
 }
 code_show = !code_show
} 
$( document ).ready(code_toggle);
</script>
<form action="javascript:code_toggle()"><input type="submit" value="Click here to toggle on/off the raw code."></form>''')

задача 1(118 а)¶

$xy\ d x- (1+x^2) d y=0\\ x y\ d x = (1+x^2) d y \\ \frac{x\ dx}{1+x^2}=\frac{dy}{y}\\ \int \frac{x\ dx}{1+x^2}=\int \frac{dy}{y}\\ производя\ интегрирование \\ \ \ \int \frac{x\ dx}{1+x^2}=\frac{1}{2} \int \frac{dx^2}{1+x^2}=\frac{1}{2} ln(1+x^2)\\ \ \ \int \frac{dy}{y} =ln(y)+C \\ получим \\ ln(y)+C=\frac{1}{2} ln(1+x^2) \\ или\ собирая\ логарифмы\ (где\ C=-ln(C_{1})): \\ ln(y)=ln(C_{1} \sqrt(1+x^2))\\ y=C_{1} \sqrt(1+x^2) $

Задача 2 (118 б)¶

$y'= \frac{2 x}{y}+\frac{y}{2},\ y(2)=1,\ h=0.2\\ по\ формуле:\\ y_{i}=y_{i-1}+(x_{i}-x_{i-1})\ f(x_{i-1},y_{i-1})\ начиная\ с\ x_{0}=2, y_{0}=1\ получим \\ $

x=linspace(2,3,6)
y=zeros((6))
f=lambda x,y: (2*x/y+y/2.)
index=["i=0"]
columns=[]
y[0]=1
for i in range(len(y))[1:]:    
    y[i]=y[i-1]+(x[i]-x[i-1])*(f(x[i-1],y[i-1]))
    index.append("i=%s"%(i))
#print(y)
d=DataFrame(array([x,y]),columns=index,index=[r'$'+latex("x_{i}")+'$',r'$'+latex("y_{i}")+'$'])#
display(d)
plt.plot(x,y,'o')

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x7eff1f10ddd8>]

Задача 3( 118 в)¶

$(x^2+y-y e^x)\ d x +(x+2 y-e^x)\ d y=0\ (1)\\ т.к.\ (x^2+y-y e^x)_{y}=1-e^x=(x+2 y-e^x)_{x},то\ выражение\ (1)\ является \\ полным\ дифференциалом\ некоторой\ функции\ F(x,y)\ т.е:\\ d F(x,y)=F_{x}(x,y) d x + F_{y}(x,y) d y \\ где\\ \ \ F_{x}(x,y)=(x^2+y-y e^x)\\ \ \ F_{y}(x,y)=(x+2 y-e^x)\\ (т.е.\ выполняется\ F_{x y}(x,y)=F_{y x}(x,y)\ необходимое\ усолвие\ для\\ полного\ дифференциала ) \\ а\ т.к.\ d F(x,y)=0\ то\\ F(x,y)=const\ (2)\\ -неявное\ решение\ уравнения\ (1)\\ для\ нахождения\ F(x,y)\ нужно\ интегрировать\ одну\ из\ частных\ производных\\ по\ соответсвующему\ аргуметну.\ Например\ по\ x\ получим:\\ F(x,y)=\int F_{x}(x,y) d x = \int (x^2+y-y e^x) d x= \frac{x^3}{3}+x y-y e^x+C(y) \ \ \ (3)\\ здесь\ С(у)-постоянная\ интегрирования\ (не\ зависит\ от\ x\ но\ зависит\ от\ y).\\ Для\ нахождения\ C(y)\ надо\ продифференцировать\ (3)\ по\ y\ и\ прировнять\ к\\ F_{y}(x,y)=(x+2 y-e^x)\\ получим\ дифф\ уравнение:\\ C'(y)+x-e^x=(x+2 y-e^x)\\ C'(y)=2 y\\ \frac{d C(y)}{d y}=2 y\\ d C(y)=2 y d y\\ \int d C(y)=\int 2 y d y\\ C(y)=y^2+C\\ Подставляя\ C(y)\ в\ (3)\ найдем\ F(x,y)\ с\ точностью\ до\ константы:\\ F(x,y)=\frac{x^3}{3}+x y-y e^x+y^2+C\\ а\ затем,\ воспользовавшись\ (2)\ получим\ решение\ в\ неявной\ форме,\ с\ точностью\ до\ константы\ const:\\ \frac{x^3}{3}+x y-y e^x+y^2=const $

Задача 4 (127)¶

В партии из 10 деталей 8 стандартных. Выбрали 2-е детали. Найти мат одидание ($E(X)$) и дисперсию ($D(X)$) числа стандартных деталий $Решение:\\ E(X)=\sum(x_{i}p(X=x_{i}))=0\ p(0)+1\ p(1)+2\ p(2)\\ p(1)\ можно\ найти\ как\ число\ способов\ выбрать\ 1\ елемент\ из\ 8\\ умножить\ на\ число\ способов\ выбрать\ 1\ елемент\ из 2\\ деленное\ на\ число\ способов\ выбрать\ 2\ елемента\ из\ 10:\\ p(1)=\frac{ \begin{pmatrix} 8\\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 10\\ 2 \end{pmatrix} }=2 \frac{8}{10}\frac{2}{9}\\ p(2)\ можно\ найти\ как\ число\ способов\ выбрать\ 2\ елемента\ из\ 8\\ деленное\ на\ число\ способов\ выбрать\ 2\ елемента\ из\ 10:\\ p(2)=\frac{ \begin{pmatrix} 8\\ 2 \end{pmatrix}} { \begin{pmatrix} 10\\ 2 \end{pmatrix} }=\frac{\frac{8!}{(8-2)! 2!}}{\frac{10!}{(10-2)! 2!}}=\frac{8}{10}*\frac{7}{9}\\ т.о.\\ E(X)=1\ p(1)+2\ p(2)=1.6\\ D(X)=E(X^2)-E^2(x)=(1^2 p(1)+2^2 p(2))-1,6 ^2=0.284$

	i=0	i=1	i=2	i=3	i=4	i=5
$x_{i}$	2.0	2.2	2.400000	2.600000	2.800000	3.000000
$y_{i}$	1.0	1.9	2.553158	3.184479	3.829511	4.504927