Résultante d'un déplacement en ligne brisée

Mise en situation

Un randonneur se dirige à l'aide de sa boussole. Ses déplacements successifs se résument comme suit :

200 mètres vers l'est
510 mètres vers le nord-est
350 mètres vers le nord
995 mètres vers le nord-ouest

Problème

Il a donc marché 200+510+350+995 = 2055 mètres. Mais s'il avait pu se déplacer en ligne droite, quelle distance aurait-il eu à parcourir et dans quelle direction aurait-il dû marcher?

Représentation graphique

Solution

On a représenté le déplacement de ce marcheur par les 4 vecteurs suivants :

$\overrightarrow{AB} = 200\,\angle\, 0^\circ = (200\,;\,0)$
$\overrightarrow{BC} = 510\,\angle\, 45^\circ = (510\cos(45^\circ)\,;\,510\sin(45^\circ))$
$\overrightarrow{CD} = 350\,\angle\, 90^\circ = (0\,;\,350)$
$\overrightarrow{DE} = 995\,\angle\, 135^\circ = (995\cos(135^\circ)\,;\,995\sin(135^\circ))$

S'il avait pu marcher en ligne droite, son déplacement aurait été donné par la somme de ces 4 vecteurs, soit : $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE}$

En additionnant composante par composante, cela donne donc : $\overrightarrow{AE} = (x \,;\,y)$ où $x = 200+510\cos(45^\circ)+995\cos(135^\circ) \qquad\mbox{ et }\qquad y = 510\sin(45^\circ)+350+995\sin(135^\circ)$ exactement, ou $x \thickapprox -142,947 \qquad\mbox{ et }\qquad y \thickapprox 1414,196$ en arrondissant au millimètre le plus proche.

Il ne reste plus qu'à déterminer la norme du vecteur $\overrightarrow{AE}$ et sa direction $\theta$ pour résoudre le problème.

D'une part, on a $\| \overrightarrow{AE} \| =\sqrt{x^2+y^2} \thickapprox 1421,402$ D'autre part, comme $x$ est négatif et que $y$ est positif, $\overrightarrow{AE}$ pointe vers le deuxième quadrant, de sorte que $\theta = 180 - \arctan\left(\frac{|y|}{|x|}\right) = 180 + \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$ soit $\theta \thickapprox 180-84,23 \thickapprox 95,77^\circ$

Réponse

S'il avait pu marcher en ligne droite, il aurait suffi que ce randonneur parcoure approximativement $1421$ mètres en direction $\mbox{N}6^\circ\mbox{O}$ .

Résultante de deux vitesses

Mise en situation

Un bateau traverse une rivière. Son moteur le propulse à 12 km/h vers l'ouest, tandis que le courant l'entraîne à 3 km/h vers le nord.

Problème

À quelle vitesse le bateau se déplace-t-il réellement? Et quel est son angle de dérive?

Représentation graphique

Solution

On a représenté ci-dessus le vecteur-vitesse provenant de l'action du moteur $\overrightarrow{v_m}=12\,\angle\,180^\circ = (-12\,;\,0)$ et celui issu du courant de la rivière $\overrightarrow{v_c}=3\,\angle\,90^\circ=(0,3)$

La vecteur-vitesse du bateau résulte de la somme de ces deux derniers, soit $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_m}+\overrightarrow{v_c}=(-12\,;\,3)$

Il ne reste qu'à calculer la norme de $\overrightarrow{v}$ , soit $\|\overrightarrow{v}\|=\sqrt{(-12)^2+3^2}=\sqrt{153}\thickapprox 12,369$ et l'angle formé par les vecteurs $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{v_m}$ , soit $\arctan\left(\frac{3}{12}\right) \thickapprox 14,04^\circ$

Réponse

Le bateau se déplace approximativement à $12,4$ km/h et le courant le fait dériver de $14,04^\circ$ environ.

Résultante de deux forces

Mise en situation

Deux chevaux peu disciplinés sont attelés à une charrue. Le premier tire vers le sud avec une force de $340$ Newtons, le second vers le nord-est avec une force de $625$ Newtons.

Problème

Quelles sont l'intensité et la direction de la force résultant de l'action de ces deux chevaux?

Représentation graphique

Solution

On a représenté ci-dessus les forces exercées par les deux chevaux, soit

$\overrightarrow{F_1}=(0\,;\,-340)$
$\overrightarrow{F_2}=(625\cos(45^\circ)\,;\,625\sin(45^\circ))$

Puis on a représenté la force résultant de leurs actions conjuguées, soit $\overrightarrow{F} = \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}=(x\,;\,y)$ où $x = 625\cos(45^\circ)\thickapprox 441,942 \qquad\mbox{ et }\qquad y = 625\sin(45^\circ)-340\thickapprox 101,942$

On en déduit que la norme du vecteur $\overrightarrow{F}$ vaut $\| \overrightarrow{F} \| =\sqrt{x^2+y^2} \thickapprox 453,547$ et que sa direction est $\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \thickapprox 12,99^\circ$

Réponse

L'action des deux chevaux équivaut approximativement à une force de $453,5$ Newtons en direction $\mbox{N}77^\circ\mbox{E}$ .

Système à l'équilibre

Polygone des forces ou combinaison linéaire : voir les exemples traités en classe.

trick=(-100,-400)
A=(0,0)
B=(sin(40*pi/180)*435/sin(50*pi/180),0)
C=(sin(40*pi/180)*435/sin(50*pi/180),435)
D=(0,-200)
G=arrow(C,B, color='red')
G+=point(D, size=300, color='black')
G+=point(trick, color='white')
G+= text('corde', (sin(40*pi/180)*435/sin(50*pi/180)/2-30,435/2))
G+= text('tige', (sin(40*pi/180)*435/sin(50*pi/180)/2+30,+30))
G+= text('mur', (sin(40*pi/180)*435/sin(50*pi/180)+15,435/2), color='gray')
G+= text(r'$435\;N$', (-25,-150), color='red')
G.show(axes=False)