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Résultante d'un déplacement en ligne brisée

Mise en situation

Un randonneur se dirige à l'aide de sa boussole. Ses déplacements successifs se résument comme suit :

  • 200 mètres vers l'est

  • 510 mètres vers le nord-est

  • 350 mètres vers le nord

  • 995 mètres vers le nord-ouest

Problème

Il a donc marché 200+510+350+995 = 2055 mètres. Mais s'il avait pu se déplacer en ligne droite, quelle distance aurait-il eu à parcourir et dans quelle direction aurait-il dû marcher?

Représentation graphique

Solution

On a représenté le déplacement de ce marcheur par les 4 vecteurs suivants :

  • AB=2000=(200;0)\overrightarrow{AB} = 200\,\angle\, 0^\circ = (200\,;\,0)

  • BC=51045=(510cos(45);510sin(45))\overrightarrow{BC} = 510\,\angle\, 45^\circ = (510\cos(45^\circ)\,;\,510\sin(45^\circ))

  • CD=35090=(0;350)\overrightarrow{CD} = 350\,\angle\, 90^\circ = (0\,;\,350)

  • DE=995135=(995cos(135);995sin(135))\overrightarrow{DE} = 995\,\angle\, 135^\circ = (995\cos(135^\circ)\,;\,995\sin(135^\circ))

S'il avait pu marcher en ligne droite, son déplacement aurait été donné par la somme de ces 4 vecteurs, soit : AE=AB+BC+CD+DE \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE}

En additionnant composante par composante, cela donne donc : AE=(x;y) \overrightarrow{AE} = (x \,;\,y) exactement, ou en arrondissant au millimètre le plus proche.

Il ne reste plus qu'à déterminer la norme du vecteur AE\overrightarrow{AE} et sa direction θ\theta pour résoudre le problème.

D'une part, on a AE=x2+y21421,402 \| \overrightarrow{AE} \| =\sqrt{x^2+y^2} \thickapprox 1421,402 D'autre part, comme xx est négatif et que yy est positif, AE\overrightarrow{AE} pointe vers le deuxième quadrant, de sorte que θ=180arctan(yx)=180+arctan(yx) \theta = 180 - \arctan\left(\frac{|y|}{|x|}\right) = 180 + \arctan\left(\frac{y}{x}\right) soit θ18084,2395,77 \theta \thickapprox 180-84,23 \thickapprox 95,77^\circ

Réponse

S'il avait pu marcher en ligne droite, il aurait suffi que ce randonneur parcoure approximativement 14211421 mètres en direction .

Résultante de deux vitesses

Mise en situation

Un bateau traverse une rivière. Son moteur le propulse à 12 km/h vers l'ouest, tandis que le courant l'entraîne à 3 km/h vers le nord.

Problème

À quelle vitesse le bateau se déplace-t-il réellement? Et quel est son angle de dérive?

Représentation graphique

Solution

On a représenté ci-dessus le vecteur-vitesse provenant de l'action du moteur vm=12180=(12;0)\overrightarrow{v_m}=12\,\angle\,180^\circ = (-12\,;\,0)
et celui issu du courant de la rivière vc=390=(0,3)\overrightarrow{v_c}=3\,\angle\,90^\circ=(0,3)

La vecteur-vitesse du bateau résulte de la somme de ces deux derniers, soit v=vm+vc=(12;3) \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_m}+\overrightarrow{v_c}=(-12\,;\,3)

Il ne reste qu'à calculer la norme de v\overrightarrow{v}, soit v=(12)2+32=15312,369 \|\overrightarrow{v}\|=\sqrt{(-12)^2+3^2}=\sqrt{153}\thickapprox 12,369 et l'angle formé par les vecteurs v\overrightarrow{v} et vm\overrightarrow{v_m}, soit arctan(312)14,04 \arctan\left(\frac{3}{12}\right) \thickapprox 14,04^\circ

Réponse

Le bateau se déplace approximativement à 12,412,4 km/h et le courant le fait dériver de 14,0414,04^\circ environ.

Résultante de deux forces

Mise en situation

Deux chevaux peu disciplinés sont attelés à une charrue. Le premier tire vers le sud avec une force de 340340 Newtons, le second vers le nord-est avec une force de 625625 Newtons.

Problème

Quelles sont l'intensité et la direction de la force résultant de l'action de ces deux chevaux?

Représentation graphique

Solution

On a représenté ci-dessus les forces exercées par les deux chevaux, soit

  • F1=(0;340)\overrightarrow{F_1}=(0\,;\,-340)

  • F2=(625cos(45);625sin(45))\overrightarrow{F_2}=(625\cos(45^\circ)\,;\,625\sin(45^\circ))

Puis on a représenté la force résultant de leurs actions conjuguées, soit F=F1+F2=(x;y)\overrightarrow{F} = \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2}=(x\,;\,y)

On en déduit que la norme du vecteur F\overrightarrow{F} vaut F=x2+y2453,547 \| \overrightarrow{F} \| =\sqrt{x^2+y^2} \thickapprox 453,547 et que sa direction est θ=arctan(yx)12,99 \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \thickapprox 12,99^\circ

Réponse

L'action des deux chevaux équivaut approximativement à une force de 453,5453,5 Newtons en direction .

Système à l'équilibre

Polygone des forces ou combinaison linéaire : voir les exemples traités en classe.

trick=(-100,-400) A=(0,0) B=(sin(40*pi/180)*435/sin(50*pi/180),0) C=(sin(40*pi/180)*435/sin(50*pi/180),435) D=(0,-200) G=arrow(C,B, color='red') G+=point(D, size=300, color='black') G+=point(trick, color='white') G+= text('corde', (sin(40*pi/180)*435/sin(50*pi/180)/2-30,435/2)) G+= text('tige', (sin(40*pi/180)*435/sin(50*pi/180)/2+30,+30)) G+= text('mur', (sin(40*pi/180)*435/sin(50*pi/180)+15,435/2), color='gray') G+= text(r'$435\;N$', (-25,-150), color='red') G.show(axes=False)