M103, 2020-04-24, gr B4
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Université Paris-Saclay. Licence Sciences et technologies. L1 MPI.
Cours Math103 «Algèbre linéaire», TD du 24 avril 2020, groupe B4.
On travaille la feuille 5. On corrige les exercices 5.13 et 5.14. On utilise
pour la voix, l'outil Collaborate via "ecampus.paris-saclay.fr"
comme tableau, cette feuille Jupyter avec le noyau SageMath
Exercice 5.13. — Bases de
Réglez votre statut sur
"d'accord" si vous avez cherché l'exo 5.13
"pas d'accord" si vous ne l'avez pas cherché.
On définit les vecteurs:
et les familles
Exo 5.13, Q 1.
Montrer que est une base.
Comme on est dans qui est de dimension deux, et comme est une famille à deux éléments, il suffit de montrer que c'est une famille libre, ou de montrer que c'est une famille génératrice.
Montrer que est une famille libre revient à montrer que la seule combinaison linéaire de et qui soit nulle est la combinaison linéaire dont tous les coefficients sont nuls.
Autrement dit on veut montrer que si et sont des réels et si alors et sont nuls.
On traduit en $a \cdot
b \cdot = $.
C'est-à-dire
Sous forme matricielle:
.
On peut échelonner:
On remplace la ligne par :
On obtient:
Le système est échelonné, compatible, avec deux pivots, donc deux inconnues principales et , et aucune inconnue secondaire.
On conclut que est une base.
Remarque: puisque est une famille à deux éléments, il suffisait pour montrer que c'est une famille libre, de constater que les deux vecteurs et ne sont pas colinéaires.
La matrice de passage de à est la matrice qui a pour colonnes les vecteurs de la base exprimés dans la base .
On exprime et en fonction de et .
D'où: la matrice de passage de à est la matrice vue plus haut.
Matrice de passage de à .
La matrice de passage de à est la matrice dont les colonnes sont les expressions des vecteurs de dans la base .
C'est l'inverse de la matrice .
Remarque: pour calculer à la main l'inverse d'une matrice, on peut augmenter la matrice en ajoutant la matrice identité à droite, puis échelonner et réduire. La partie de gauche devient la matrice identité, tands que la partie de droite arrive à l'inverse de la matrice de départ.
Matrice augmentée:
On échelonne et on réduit:
Pour les matrices de taille deux par deux, on a une recette.
Pour une matrice ,
on appelle déterminant de la quantité ,
la matrice est inversible si et seulement si ,
dans ce cas, la matrice inverse est la matrice .
La matrice inverse nous dit comment s'expriment et en fonction de et .
Exo 5.13, Q 2.
Montrer que est une base et trouver la matrice de passage de à .
Puisque est une famille à deux éléments dans qui est de dimension deux, il suffit pour montrer que c'est une base de montrer que c'est une famille libre.
Et pour montrer que c'est une famille libre, puisqu'elle n'a que deux vecteurs, il suffit de montrer qu'ils ne sont pas colinéaires.
Or et ne sont pas colinéaires. Donc est une base.
La matrice de passage a pour colonnes les composantes des vecteurs de la base exprimés dans la base .
Donc .
La matrice est une matrice à deux lignes et deux colonnes.
Son inverse se calcule facilement:
le déterminant est ;
l'inverse est donc Donc .
Exo 5.13, Q 3.
On considère le vecteur .
Son expression dans la base est facile à trouver:
Donc .
Pour les changements de bases, on peut utiliser les matrices de passage.
Remarquons que, dans la base ,
les coordonnées de sont puisque
les coordonnées de sont puisque
Rappel: on a trouvé la matrice de passage de à , qui est:
En notant , et les coordonnées de dans les bases et , on a donc .
En notant , et les coordonnées de dans les bases et , on a donc .
Notons
les coordonnées de dans
les coordonnées de dans
les coordonnées de dans
On a alors , et donc .
Cela signifie que . En effet, $2 \cdot
=
= $.
De même, .
Autrement dit, .
Et en effet, .
Notons la matrice de passage de à .
On sait que et .
Donc .
On a donc .
Pour vérifier que c'est cohérent: cela nous dit que
le premier vecteur de est fois le premier vecteur de plus fois le deuxième vecteur de , autrement dit
le deuxième vecteur de est fois le premier vecteur de plus fois le deuxième vecteur de , autrement dit
Exo 5.14. — Matrices de passages dans
On note la base canonique de , et la famille .
Les colonnes de sont les coordonnées des vecteurs de exprimés dans la base .
est de dimension et la famille comporte vecteurs.
C'est une base si et seulement si c'est une famille libre.
La forme échelonnée réduite de correspond à un système compatible avec trois pivots et aucune inconnue secondaire.
On conclut que les colonnes de forment une famille libre.
Et donc est une base.
La matrice de passage de à est la matrice qui a pour colonnes les cooordonnées des vecteurs de exprimés dans la base .
La matrice de passage de à est la matrice inverse de .
Pour faire le calcul à la main, on part d'une matrice augmentée et on échelonne et on réduit.
On obtient une matrice .
Exo 5.14, Q 2.
On pose .
Le vecteur des coordonnées de dans est .
Le vecteur des coordonnées de dans est .
Pour le retrouver, penser au cas .
On aurait alors
est la première colonne de
cette première colonne est justement l'expression de dans la base
c'est-à-dire .
Vérification: calculer .
Exo 5.14, Q 3.
On pose .
Si et sont les vecteurs de coordonnées de dans et ,
donc .
Exo 5.14, Q 4.
On pose .
Un vecteur est dans si et seulement si .
L'équation cartésienne de dans les coordonnées , , est .
Comme , on déduit l'équation de en coordonnées , , .
La dernière ligne dit que .
L'équation de est donc la traduction de , c'est à dire .