M103 «Algèbre linéaire» - U Paris-Saclay - L1 MPI - Corrigé exo 5.13.
License: OTHER
M103, 2020-05-05, 10:30, TD, gr A2 et B3
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Université Paris-Saclay. Licence Sciences et technologies. L1 MPI.
Cours Math103 «Algèbre linéaire», TD du 05 mai 2020, groupes A2 et B3.
On travaille la feuille 5. On corrige l'exercice 5.19.
On utilise:
pour la voix, l'outil Collaborate via ecampus.paris-saclay.fr
comme tableau, cette feuille Jupyter avec le noyau SageMath
Exercice 5.19. — Applications linéaires bijectives et matrices inversibles
Soit l'application linéaire définie par
.
L'énoncé ne demande pas de vérifier que est linéaire. On pourrait le faire.
1.
La matrice de dans la base canonique est la matrice :
Rappel: en colonnes: les images des vecteurs de base.
2.
On cherche le noyau de et son rang.
Le rang de est la dimension de l'image de .
Par définition, .
Pour trouver le noyau on peut donc échelonner et réduire .
La forme échelonnée et réduite de a trois pivots, on a donc
trois inconnues principales: , , ,
aucune inconnue secondaire.
On déduit que le seul élément de est le vecteur nul.
Ou si on préfère, que la seule combinaison linéaire des colonnes de qui est nulle est celle à coefficients tous nuls.
Conclusion:
ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \im at position 1: \̲i̲m̲(f) = \R^3
le rang de est
Puisque est linéaire et que , on déduit que est injective.
Rappel: savoir retrouver que, pour linéaire,
si , alors injective
si injective, alors
Comme l'espace d'arrivée de et son espace de départ ont la même dimension, savoir que est injective nous dit aussi qu'elle est surjective, et donc bijective.
On peut aussi dire que puisque le rang de est , son image est de dimension à l'intérieur de , donc c'est tout entier.
Donc est surjective.
Étant à la fois injective et surjective, est bijective.
3.
Pour toute colonne , puisque est bijective, il existe un unique antécédent à la colonne .
C'est-à-dire: il existe une unique colonne telle que .
On peut donc considérer la bijection réciproque de .
Appelons-la .
On peut montrer que est linéaire.
Elle admet donc une matrice, notons cette matrice.
Puisque est la bijection réciproque de , on a
Matriciellement cela nous donne:
et la matrice de est donc l'inverse de la matrice de .
Ainsi, est inversible.
Pour faire le calcul, on peut augmenter la matrice avec les colonnes de la matrice identité:
On souhaite résoudre avec .
Il y a une unique solution qui est .
4.
On définit trois vecteurs , , et la famille .
Montrons que est une base.
En échelonnant la matrice qui a les vecteurs , , comme colonnes,
on obtient trois pivots. C'est donc une famille libre, et donc une base (famille libre de trois vecteurs en dimension trois).
La matrice a pour colonnes les vecteurs , , exprimés dans la base canonique, notée .
C'est donc la matrice de passage de à .
La matrice de passage de à est la matrice inverse.
On note la matrice de dans la base .
Si on a deux vecteurs , avec ,
si a pour colonne dans la base et pour colonne dans la base , on a
si a pour colonne dans la base et pour colonne dans la base , on a
On traduit ,
dans la base , par
dans la base , par
On remplace en utilisant et .
L'équation devient:
.
En multipliant à gauche par qui est l'inverse de , on obtient:
c'est à dire:
Cette relation étant vraie pour tous les vecteurs et leurs images , on a donc:
.
Attention ce n'est pas la même matrice que:
4.b.
Comme est bijective, pour tout vecteur , il existe un unique vecteur tel que .
Si l'on traduit cela en coordonnées dans la base , cela nous dit:
L'équation admet une unique solution , quelle que soit la colonne .
L'application étant bijective et linéaire, la bijection réciproque est également linéaire.
Puisque et ,
on a donc, en notant la matrice de dans la base ,
et .
Cela nous dit que la matrice est l'inverse de la matrice .
Et donc est inversible.
4. c.
Pour trouver l'inverse de .
Première solution:
La matrice est la matrice dans de l'application .
Puisque
est la matrice de dans la base
est la matrice de passage de à
la relation qui lie et est:
.
Deuxième solution:
on part de la relation
On multiplie à gauche par , puis on simplifie:
On multiplie à droite par , puis on simplifie:
On multiplie à droite par , puis on simplifie:
On multiplie à droite par , puis on simplifie:
.
.
Troisième solution:
on part de la relation
On multiplie à droite par , puis on simplifie:
On multiplie à droite par , puis on simplifie:
On multiplie à droite par , puis on simplifie:
.
.
Ainsi, le produit de par est la matrice identité.
On peut en conclure que les matrices et sont inverses l'une de l'autre.