︠9b93f7fe-5ccd-4bd4-8295-ffc85e3b4156i︠ %md ## Différentiabilité ### Exemple 1 On considère la fonction $f(x,y) = x^{1/3}y^{1/3}$. - On calucle ses dérivées partielles - Son plan tangent. ︡f6629829-0a95-4b39-8253-21975dab186b︡{"done":true,"md":"## Différentiabilité\n\n### Exemple 1\n\nOn considère la fonction $f(x,y) = x^{1/3}y^{1/3}$.\n\n- On calucle ses dérivées partielles\n- Son plan tangent."} ︠dad71d21-22d6-40b5-9eb1-4893a6ee7fa0︠ cmsel = [colormaps['autumn'](i) for i in sxrange(0,1,0.05)] f(x,y)=x^(1/3)*y^(1/3) S=plot3d(f,(x,0.00001,2),(y,0.001,2), adaptive=True, color=cmsel) Plan=plot3d(0,(x,0,2),(y,0,2), color='brown', opacity=0.45) show(S + Plan) C= contour_plot(f, (x,0.00001, 2), (y,0.0001, 2),cmap='autumn',linestyles='solid', fill=False) show(C,figsize=4) ︡7b082714-6551-400e-80aa-b6b8406f1d77︡{"file":{"filename":"3e59d27c-0cec-4830-8682-f9b58db86dd4.sage3d","uuid":"3e59d27c-0cec-4830-8682-f9b58db86dd4"}}︡{"file":{"filename":"/projects/376921f2-eda3-44fc-b33d-1550746c3549/.sage/temp/compute6-us/15962/tmp_YSw0Ea.svg","show":true,"text":null,"uuid":"30775adc-e6c1-4747-87b4-71c4faa57970"},"once":false}︡{"done":true}︡ ︠22d45773-fd79-4588-971e-e25b8bc26c4fi︠ %md ### On remarque que près de 0, les courbes de niveau ne ressemblent pas à des doites. ︡b19cb03e-2726-4526-b8ff-56cc357f012c︡{"done":true,"md":"### On remarque que près de 0, les courbes de niveau ne ressemblent pas à des doites."} ︠9f19ddd1-879f-4a8d-8231-34d0874b85ed︠ ︡3ad7bb86-bb0b-4783-8a66-92442c9d79f5︡ ︠ef1b971e-6c40-42f5-8afb-99191d95925f︠ ︡667aea9c-4945-46e0-95d3-f8a34644f1c1︡ ︠07c79e88-ccff-4a77-abf3-dc826c9ee56ci︠ %md ## Exemple 2 On considère cette fois la fonction $f(x,) = \left| |x|-|y| \right| - |x| - |y|$, et on s'intéresse à ce qui se passe près de l'origine. ︡bf52e35f-0202-46a4-a74a-63a9bb00c1dc︡{"done":true,"md":"## Exemple 2\nOn considère cette fois la fonction $f(x,) = \\left| |x|-|y| \\right| - |x| - |y|$, et on s'intéresse à ce qui se passe près de l'origine."} ︠c542caaf-e5dd-4e2b-b4e3-6f5d3e8c44b2s︠ cmsel = [colormaps['Greens'](i) for i in sxrange(0.3,0.9,0.05)] f(x,y)=abs(abs(x)-abs(y)) - abs(x)-abs(y) S=plot3d(f,(x,-2,2),(y,-2,2), adaptive=True, color=cmsel, mesh = 1) Plan=plot3d(0,(x,-2,2),(y,-2,2), color='brown', opacity=0.45) show(S) C= contour_plot(f, (x,-1.5, 1.5), (y,-1.5, 1.5),cmap='Greys',linestyles='solid', fill=True, colorbar = True) show(C,figsize=4) ︡a0c255c2-e443-460e-9999-f001f9293e0c︡{"file":{"filename":"d8bd7942-b080-49e9-8410-6d2a3c988994.sage3d","uuid":"d8bd7942-b080-49e9-8410-6d2a3c988994"}}︡{"file":{"filename":"/home/user/.sage/temp/project-376921f2-eda3-44fc-b33d-1550746c3549/324/tmp_y0GdaQ.svg","show":true,"text":null,"uuid":"6e4870fd-1aa8-4699-a4df-631dfb1b166d"},"once":false}︡{"done":true} ︠8e597da6-36cd-4bff-84f6-dbf8f90d655as︠ ︡7737fee8-d489-4402-aa99-254aa9a8149a︡{"done":true}︡ ︠19a58666-67c3-4d36-ad64-7577fa2746f6︠ ︡0836dacf-c701-439c-8feb-790453c1d4e5︡ ︠8ba63f6f-de6f-45f7-8c2a-747c689927f4i︠ %md ### Exemple Cette fois une fonction différentiable. On trace la surface ainsi que son plan tangent. ︡a8ba75da-d781-4297-ba28-976cdaf6422f︡{"done":true,"md":"### Exemple\nCette fois une fonction différentiable. On trace la surface ainsi que son plan tangent."} ︠9a6600f6-221b-40e2-8fad-2cfe87d6f25fs︠ cmsel = [colormaps['autumn'](i) for i in sxrange(0,1,0.05)] f(x,y)=x^2+x*y+3*y^2 T=taylor(f(x,y),(x,1),(y,1),1) S=plot3d(f,(x,0,3),(y,0,3), adaptive=True, color=cmsel) Plan=plot3d(T,(x,0,3),(y,0,3), color='blue',opacity=0.65) show(S+Plan, frame_aspect_ratio = [15,15,1]) C= contour_plot(f, (x,0.5, 1.5), (y,0.5, 1.5),cmap='autumn',linestyles='solid', fill=False) show(C,figsize=4) ︡b87f5842-ed5b-4dc1-9833-d705d050e438︡{"file":{"filename":"6498a95d-ec73-4d7e-bd90-a78ff353809c.sage3d","uuid":"6498a95d-ec73-4d7e-bd90-a78ff353809c"}}︡{"file":{"filename":"/projects/376921f2-eda3-44fc-b33d-1550746c3549/.sage/temp/compute6-us/15962/tmp_4Qe18a.svg","show":true,"text":null,"uuid":"07d7b4c6-5b51-4fb8-b0a7-ddfa5ad0fa09"},"once":false}︡{"done":true}︡ ︠ea2a258b-3f89-4c84-8f41-03da90f1e500i︠ %md On remarque que les courbes de niveau ressemblent à des droites. ︡696d37d5-4a14-4a59-bfeb-83e9afa441a0︡{"done":true,"md":"On remarque que les courbes de niveau ressemblent à des droites."} ︠fb59286a-164e-4247-94d4-efcd8c0641ae︠