Jupyter notebook tmp/dimakov/dimakov-stability.ipynb
Устойчивость первых двух собственных форм
Рассмотрим следующее уравнение: вместе с граничными условиями
Заменой , мы переходим к безразмерной форме уравнения: где и граничные условия принимают вид:
Теперь в качестве решения подставим , где функции , , и связаны с первыми двумя собственными формами данного уравнения:
Умножим скалярно это соотношение на и :
Примем . Тогда систему можно записать в виде: где , а . Вопросы асимптотического поведения (а, следовательно, и устойчивости) определяются решениями следующего характеристического уравнения:
Теперь уточним, чему же именно равны коэффициенты матрицы . Напомним, какому соотношению удовлетворяет собственная форма . В методе разделения переменных мы подставляем функцию вида в исходное уравнение и получаем
откуда . Но тогда это означает, что , где — дельта Кронекера, и на самом деле
Система уравнений распадается на два независимых уравнения и . Вопрос асимптотики решений для них очевиден: если , то в решении получаются гармонические функции, которые ограничены при всех ; если же , то решение есть суперпозиция и , которая ограничена только в случае тривиального решения.
Всё, к чему теперь сводится задача — определить знак собственных чисел и . Проанализируем какими могут быть корни характеристического уравнения в зависимости от : Из физических соображений , поэтому можно выделить следующие случаи:
если , то корни имеют вид , ,
если , то корни имеют вид и , ,
если , то корни имеют вид и , ,
Для устойчивости достаточно выяснить, возможно ли разрешить задачу на собственные числа при . Если определитель системы для решения граничных условий всегда будет отличен от нуля, то это точно свидетельствует о том, что все собственные числа отрицательны, а значит система неустойчива.
Численное определение области устойчивости
В качестве аппроксимации области устойчивости воспользуемся следующим методом. Вместо настоящих первых двух мод будем брать их полиномиальные аппроксимации , а матрица будет состоять из элементов . Зная собственные числа матрицы для системы , мы можем ответить на вопрос об устойчивости. А именно, если матрица имеет положительное собственное число , то есть и положительное собственное число в системе дифференциальных уравнений , что приведёт к неустойчивости решений.
Так как полиномиальная аппроксимация зависит только от граничных условий, то просто повторим поиск первых нескольких собственных форм:
Так как первое решение вообще почти никакого отношения к реальным модам не имеет, то мы его можем отбросить и вычислить производные только для и :
В итоге это приведёт к следующей аппроксимации матрицы (которая сейчас зависит от параметра ):
Изобразим на графике след и определитель матрицы в зависимости от параметра :
Мы наблюдаем, что до некоторого критического значения собственные числа матрицы либо одного знака, либо комплексные, но их сумма имеет тот же знак, что и след матрицы , а он отрицателен. Это гарантирует отрицательность вещественных частей собственных чисел матрицы .
Смена устойчивости происходит при , после чего определитель меняет знак и собственные числа точно разных знаков, что приводит к неустойчивости.
Однако, есть ещё одна смена устойчивости при — после этого значения двухмодовое решение снова становится устойчивым: