Devoir2 Probleme5

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Compute Environment: Ubuntu 18.04 (Deprecated)

typeset_mode(True)
var('x,y')
f(x,y) = x*y*(x^2- y^2)/(x^2+y^2)
f(x,y)

(

\displaystyle x

\displaystyle y

)

\displaystyle \frac{{\left(x^{2} - y^{2}\right)} x y}{x^{2} + y^{2}}

Voyons les courbes de niveau de $f$ près de l'origine.

E=1
Cf=contour_plot(f(x,y),(x,-E,E),(y,-E,E),cmap='autumn', contours = 40, linestyles='solid',aspect_ratio=1, fill = False)
show(Cf)

%md
Dessinons les dérivées partielles. En fait leurs courbes de niveau.

Dessinons les dérivées partielles. En fait leurs courbes de niveau.

fx(x,y) =(diff(f(x,y),x))
Cfx=contour_plot(fx(x,y),(x,-E,1/E),(y,-E,E),cmap='autumn', contours = 20, linestyles='solid',aspect_ratio=1, colorbar=True);
show(Cfx, figsize=4)

fx(x,y)

\displaystyle \frac{2 \, x^{2} y}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 \, {\left(x^{2} - y^{2}\right)} x^{2} y}{{\left(x^{2} + y^{2}\right)}^{2}} + \frac{{\left(x^{2} - y^{2}\right)} y}{x^{2} + y^{2}}

fx(x,y).simplify_full()

\displaystyle \frac{x^{4} y + 4 \, x^{2} y^{3} - y^{5}}{x^{4} + 2 \, x^{2} y^{2} + y^{4}}

%md
Le numérateur est de degré 5, la limite vers $(0,0)$ est nulle.

Le numérateur est de degré 5, la limite vers $(0,0)$ est nulle.