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Author: Juan Carlos Bustamante
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Compute Environment: Ubuntu 18.04 (Deprecated)
typeset_mode(True) var('x,y') f(x,y) = x*y*(x^2- y^2)/(x^2+y^2) f(x,y)
(x\displaystyle x, y\displaystyle y)
(x2y2)xyx2+y2\displaystyle \frac{{\left(x^{2} - y^{2}\right)} x y}{x^{2} + y^{2}}

Voyons les courbes de niveau de ff près de l'origine.

E=1 Cf=contour_plot(f(x,y),(x,-E,E),(y,-E,E),cmap='autumn', contours = 40, linestyles='solid',aspect_ratio=1, fill = False) show(Cf)
%md Dessinons les dérivées partielles. En fait leurs courbes de niveau.

Dessinons les dérivées partielles. En fait leurs courbes de niveau.

fx(x,y) =(diff(f(x,y),x)) Cfx=contour_plot(fx(x,y),(x,-E,1/E),(y,-E,E),cmap='autumn', contours = 20, linestyles='solid',aspect_ratio=1, colorbar=True); show(Cfx, figsize=4)
fx(x,y)
2x2yx2+y22(x2y2)x2y(x2+y2)2+(x2y2)yx2+y2\displaystyle \frac{2 \, x^{2} y}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 \, {\left(x^{2} - y^{2}\right)} x^{2} y}{{\left(x^{2} + y^{2}\right)}^{2}} + \frac{{\left(x^{2} - y^{2}\right)} y}{x^{2} + y^{2}}
fx(x,y).simplify_full()
x4y+4x2y3y5x4+2x2y2+y4\displaystyle \frac{x^{4} y + 4 \, x^{2} y^{3} - y^{5}}{x^{4} + 2 \, x^{2} y^{2} + y^{4}}
%md Le numérateur est de degré 5, la limite vers $(0,0)$ est nulle.

Le numérateur est de degré 5, la limite vers (0,0)(0,0) est nulle.