Champs de vecteurs et intégrales de ligne

Quelques exemples ou considérations autour (ce n'est pas un jeu de mots) du calcul de $\displaystyle \int_\mathcal{C} \mathbf{F} \cdot {\rm d} \mathbf{r}$

Exemple

Calculer le travail du Champ $\mathbf{F}(x,y) = (x, y+2)$ sur l'arc de la cycloide $(x,y)=(t-\sin t, 1-\cos t)$

var('x,y,t')
Champ = plot_vector_field((x,y+2), (x,-1,7), (y,-1,3), color = "grey")
Courbe = parametric_plot((t-sin(t), 1-cos(t)),(t,0,2*pi), color="red" )
show(Champ+Courbe)

(x, y, t)

Exemple (très important)

Nous avons considéré l'exemple ci-bas:

Exemple : Soit $\mathbf{F}(x,y)=\frac{-y}{x^2+x^2}\mathbf{i} + \frac{x}{x^2+y^2}\mathbf{j}$ . Montrer qu'il existe une fonction $f(x,y)$ telle que $\mathbf{F} = \nabla f$ Soit $\mathcal{C}_1$ la trajectoire sur le cercle $x^2+y^2=1$ joignant $(1,0)$ à $(-1,0)$ , vérifiant $y\geq 0$ , et $\mathcal{C}_2$ la trajectoire suivant la moitié inférieure du même cercle. Calculer $\displaystyle \int_{\mathcal{C}_1} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ et $\displaystyle \int_{\mathcal{C}_2} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$

Solution : Considérons d'abord la figure ci-bas. On y trouve le champ $\mathbf{F}$ ainsi que les deux trajectoires.

(x, y, t)

Nous voyons que le long de la trajectoire verte, le champ travaille dans le même sens que le mouvement (l'intégrale sera positive), tandis que le long de la trajectoire rouge, le champ pointe dans la direction contraire (l'intégrale sera négative). Nous avons vu en cours que $f(x,y) = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$ est une fonction potentiel de $\mathbf{F}$ , c'est à dire que $\mathbf{F} = \nabla f$ . Voyons :

(x, y)

Le champ gradient est

\displaystyle :\left( x, y \right) \ {\mapsto} \ \left(-\frac{y}{x^{2} {\left(\frac{y^{2}}{x^{2}} + 1\right)}},\,\frac{1}{x {\left(\frac{y^{2}}{x^{2}} + 1\right)}}\right)

Par ailleurs, nous avons aussi calculé $\displaystyle \int_{\mathcal{C}_1} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \pi$ et $\displaystyle \int_{\mathcal{C}_2} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = -\pi$ .

Remarquons que la fonction potentiel $f$ n'est pas continue sur la région qui est parcourue par les deux trajectoires $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ . Voici des graphiques illustrant ceci,

var('x,y')
f(x,y)=arctan(y/x)
C=contour_plot(f, (x,-1, 1), (y,-1, 1),fill=True, contours=30,cmap='hot',linestyles='solid',colorbar=True,plot_points=10)
Grad=plot_vector_field(f.gradient(),(x,-1,1),(y,-1,1),plot_points=10,color='blue')
show(C+Grad, figsize=6)

(x, y)