| Hosted by CoCalc | Download
# Kaip papildyti vektorių sistemą iki erdvės bazės?

def papildom_poerdviai(W, V):
    """
    Gražina tiesinės erdvės V poerdvio W papildinio iki V bazę.
    Kitaip sakant, randa tokį poerdvį U, kad V yra W ir U tiesioginė
    suma ir gražina jo bazę.
    """
    Q, pi, lift = V.quotient_abstract(W)
    Basis = [lift(v) for v in Q.basis()]
    return Basis

# pi   yra projekcijos atvaizdis iš erdvės V į faktorerdvę V/W: pi(v) = v + W.
# lift yra "atvirkštinis" atvaizdis iš faktorerdvės Q = V/W  į  erdvę V, tenkinantis
# lygybę pi(lift(u)) = u  su visais u iš Q.


def papildom(vec, V):
    """
    Tiesinės erdvės V vektorių šeimą vec papildo vektoriais v1,..., vn iki
    erdvės V bazės ir gražina papildytus vektorius v1,..., vn.
    """
    return papildom_poerdviai(V.span(vec), V)


# 4 pavyzdys. Rasime matricos

A = matrix(QQ, 4, 4, [[0, 0, -5, 3],
                      [0, 0, -3, 1],
                      [-5, 3, 0, 0],
                      [-3,1,0,0]])
show(A)
(00−5300−31−5300−3100)\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & -3 & 1 \\ -5 & 3 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right)
# Žodano formą ir atitinkamą bazę.

# Randame matricos charakteristinį polinomą:

p = A.charpoly(var = 't')
show(p)
show(p.factor())
t4−8t2+16\displaystyle t^{4} - 8 t^{2} + 16
(t−2)2⋅(t+2)2\displaystyle (t - 2)^{2} \cdot (t + 2)^{2}
######################
# TIKRINĖ REIKŠMĖ t=2.
######################
#
# Nagrinėjame matricą B2 := A-2*E. Ieškome mažiausoi p: rg(B2^p)=4-2=2:
B2 = A - 2*matrix.identity(4)
show(B2)
(−20−530−2−31−53−20−310−2)\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr} -2 & 0 & -5 & 3 \\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ -5 & 3 & -2 & 0 \\ -3 & 1 & 0 & -2 \end{array}\right)
# Matricos B2 laipsnių rangai:
B2.rank()
(B2**2).rank()
3 2 
# Taigi, p=2. Matricos B2 branduolys ker B2 ir jo dimensija:
L1 = B2.left_kernel()
L1.dimension()
1 
# Matricos B2^2 branduolys ker B2^2 ir jo dimensija:
L2 = (B2**2).left_kernel()
L2.dimension()
2 
# Poerdvio L1 bazę pildant iki erdvės L2 bazės, reikia pridėti 1 vektorių v11, kurį
# atitiks lygiai vienas 2-os eilės Žordano langelis.
# Rasime šį vektorių:

v11 = papildom(L1.basis(), L2)[0]
v11
(1, 0, -1, 0) 
# Suskaičiuojame dar vieną vektorių:

v11B2 = v11*B2  # priklauso L1
v11B2
(3, -3, -3, 3) 
############################

######################
# TIKRINĖ REIKŠMĖ t=-2.
######################
#
# Nagrinėjame matricą Bm2 := A+2*E. Ieškome mažiausoi p: rg(Bm2^p)=4-2=2:
Bm2 = A + 2*matrix.identity(4)
show(Bm2)
(20−5302−31−5320−3102)\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr} 2 & 0 & -5 & 3 \\ 0 & 2 & -3 & 1 \\ -5 & 3 & 2 & 0 \\ -3 & 1 & 0 & 2 \end{array}\right)
# Matricos Bm2 laipsnių rangai:
Bm2.rank()
(Bm2**2).rank()
3 2 
# Taigi, p=2. Matricos Bm2 branduolys ker Bm2 ir jo dimensija:
Lm1 = Bm2.left_kernel()
Lm1.dimension()
1 
# Matricos Bm2^2 branduolys ker Bm2^2 ir jo dimensija:
Lm2 = (Bm2**2).left_kernel()
Lm2.dimension()
2 
# Poerdvio Lm1 bazę pildant iki erdvės Lm2 bazės, reikia pridėti 1 vektorių u11, kurį
# atitiks lygiai vienas 2-os eilės Žordano langelis.
# Rasime šį vektorių:

u11 = papildom(Lm1.basis(), Lm2)[0]
u11
(1, 0, 1, 0) 
# Suskaičiuojame dar vieną vektorių:

u11Bm2 = u11*Bm2  # priklauso Lm1
u11Bm2
(-3, 3, -3, 3) 
# Taigi radome Žordano bazę v11,v11B2,u11,u11Bm2. 
# Perėjimo matrica (iš standartinės bazės į Žordano bazę):

T = matrix(QQ,4,4,[v11,v11*B2,u11,u11*Bm2])
show(T)
(10−103−3−331010−33−33)\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 3 & -3 & -3 & 3 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ -3 & 3 & -3 & 3 \end{array}\right)
# Pradinės matricos Žordano matrica:

show(T*A*(T^(-1)))
(2100020000−21000−2)\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{array}\right)