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Authors: Samuel Lelièvre, Alba Marina Malaga Sabogal
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Ressources exposables au salon Culture et jeux math 2017

Note : Suivez le lien https://cocalc.com/projects/d0bfbfe1-a2b5-43b3-a50b-643623fde489/files/salon-cjm-2017/Images-exposees-et-descriptions.md pour voir une liste de ressources plus réduite, n'incluant notamment que les images réellement accrochées lors du montage du stand le 26 mai.

Ci-dessous une liste des ressources exposables. Tri en cours pour savoir ce qu'on exposera vraiment...

Ci-desous, "CJM" = "Culture et jeux mathématiques".

Affiches A2 de l'expo IMAGINARY 2008 (en allemand)

Ces affiches A2 nous ont été prêtées par l'association «Maths pour tous» pour le salon CJM 2016. Elles viennent de la première exposition IMAGINARY, lancée en 2008. Sur les affiches, le texte est en allemand.

(Note interne: certaines de ces surfaces ne sont pas sur imaginary.org, certaines y sont sous un autre rendu visuel.)

Dans le tableau ci-dessous, cliquer sur les images renvoie à leur page sur imaginary.org lorsqu'elle existe.

Image et lien Titre et équation Description sur Imaginary
Himmel & Hölle x2=y2z2x^2=y^2z^2 Un morceau de papier est plié et tenu de telle manière que vous puissiez mettre vos doigts dans les quatre coins ainsi formés. En écartant les doigts, la figure s‘ouvre de deux manières différentes, si bien que deux des quatre bords intérieurs peuvent être vus en même temps. Cette figure nous rappelle le jeu de cour de récréation où on doit tirer une couleur et déplier un coin pour connaître son avenir, bleu pour le ciel et rouge pour l‘enfer, d‘où son nom. En ajoutant les exposants des carrés en y et z, on obtient le plus haut exposant: 4. C‘est une équation du 4ème degré. Plus le degré est élevé, plus la surface est difficile à calculer.
Süss (x2+94y2+z21)3=x2z3+980y2z3\left(x^2+\frac94y^2+z^2-1\right)^3=x^2z^3+\frac9{80}y^2z^3
Geisha x2yz+x2z2=y3z+y3x^2yz+x^2z^2=y^3z+y^3
Dullo (x2+y2+z2)2=x2+y2(x^2+y^2+z^2)^2=x^2+y^2 Si des supporters de football dans un stade circulaire s’époumonent quand leur équipe marque un but, le son qu’ils produisent s’étend comme un anneau qui gonflerait autour d’eux. Après une seconde ou deux, toute la surface est balayée par le son, et cet anneau s’intersecte lui-même au centre du stade. Des ondes sonores provenant de tous les points s’y concentrent. On peut imaginer que c’est une des raisons pour lesquelles les arbitres suivent la balle: s’ils restaient au centre du stade ils risqueraient la surdité.
Miau x2yz+x2z2+2y3z+3y3=0x^2yz+x^2z^2+2y^3z+3y^3=0 Cette surface est apparue, par hasard, pendant un ennuyeux voyage en train (la visualisation de surfaces algébriques fait paraître le temps moins long pendant les voyages en train ennuyeux!). Deviner son équation algébrique s’est avéré difficile, en particulier pour obtenir l‘ouverture double avec sa singularité. Pour certains mathématiciens, explorer la relation entre l‘équation et la forme est un délicieux passe-temps, un coffre aux trésors où l‘on découvre des merveilles.
Zitrus x2+z2=y3(1y)3x^2+z^2 = y^3(1−y)^3 L’équation x2+z2=y3(1y)3x^2+z^2 = y^3(1−y)^3 d’Agrume (Zitrus) semble aussi simple que la figure elle-même. Deux pointes symétriques l’une de l’autre par réflexion tournent autour d’un axe traversant. L’équation simplifiée x2+z2=y3x^2+z^2 = y^3 en omettant (1y)3(1−y)^3 ou inversement fournissent deux images-miroir. Toutes deux sont des surfaces d’extension infinie. Le produit des deux termes de droite de l’équation initiale assure que Zitrus reste bornée. On peut se représenter ceci en remarquant que si la valeur absolue de y devient plus grande que 1, alors le membre de droite devient négatif et l’équation n’admet pas de solution réelle pour xx et zz.
Seepferdchen (x2y3)2=(x+y2)z3\left(x^2-y^3\right)^2=\left(x+y^2\right)z^3 Si vous voulez deviner l‘équation de cette surface, vous aurez besoin de travail, de chance et de courage! Le contact tangentiel n‘est pas facile à obtenir car il disparaît au moindre changement de la formule. L‘élégance de l‘Hippocampe est une illusion car vu de l‘autre côté il n‘est pas aussi beau. Les hippocampes vivent dans les zones climatiques tropicales et tempérées. Leur nom latin est Hippocampus et leur équation figure ci-dessus.
Sofa x2+y3+z5=0x^2+y^3+z^5=0
Ding Dong x2+y2+z3=z2x^2+y^2+z^3=z^2 Cette surface décrite par l’équation x2+y2+z3=z2x^2+y^2+z^3 = z^2 fut l’une des toutes premières visualisations que nous avons essayées. L’équation et la forme sont simples : une boucle verticale en forme d’alpha tourne autour de l’axe zz. Mais il y eut un problème avec la coloration. Le vert est généralement assez compliqué pour les visualisations tridimensionnelles de surfaces et a de plus tendance à devenir mat ou à jaunir. L’éclairage et la réflexion doivent être bien testés. Notons que l’ombre en disque bleu clair intensifie l’effet d’espace.

Affiches A1 salon 2015

Pour chaque image ci-dessous, nous avons un poster A1 (avec image + texte).

Daniel Ramos avait fait imprimer ces posters sur papier photo à Montpellier pour le salon CJM 2015. La plupart des affiches ont souffert de dégâts de scotch double-face....

Image et lien Titre et équation Description sur Imaginary
Calypso x2+y2z=z2x^2+y^2z = z^2 La surface Calypso d’équation x2+y2z=z2x^2+y^2z = z^2 contient trois droites. La droite horizontale est clairement visible, elle passe par l’origine (zéro) où la partie haute et la partie basse se rencontrent. Les deux autres droites se trouvent dans un plan vertical et elles se coupent au point 0. L’intersection de la surface et de ce plan fait apparaître ces deux droites. Si l’on déplace ce plan légèrement vers l’avant, la courbe d’intersection devient une hyperbole. Ceci peut être facilement vérifié par un calcul. On pose soit y=0y=0, soit y=1y=1. Dans le premier cas, le résultat est x2=z2x^2 = z^2 ou encore (xz)(x+z)=0(x−z)(x + z) = 0, équation de deux droites dans le plan. Dans le deuxième cas, on obtient x2+z=z2x^2+z = z^2. Cela peut se réécrire comme x2+(z1/2)2=1/4−x^2+(z−1/2)^2 = 1/4, équation d’une hyperbole centrée en (0,1/2)(0, 1/2).
Calyx x2+y2z3=z4x^2+y^2z^3 = z^4 La surface Calyx d’équation x2+y2z3=z4x^2+y^2z^3 = z^4 a comme lieu de singularités une droite. La partie basse de la surface a des singularités en pointe cachées le long de la droite, tandis que la partie haute rencontre cette droite tangentiellement en un point, l’origine. L’image réelle est trompeuse du fait que le polynôme définissant est irréductible et la surface, par conséquent, n’a qu’une seule composante algébrique (et non deux composantes comme semble le suggérer la figure). On peut montrer que Calyx s’obtient comme une certaine projection de Calypso. Dans l’espace à trois dimensions, une surface cylindrique est contractée en la droite singulière de Calyx. Algébriquement, cette application est définie par la donnée très simple (x,y,z)(xz,y,z)(x, y, z) → (xz, y, z). La substitution dans x2+y2z3=z4x^2+y^2z^3 = z^4 puis la réduction de z2z^2 permet d’obtenir l’équation de Calypso x2+y2z=z2x^2+y^2z = z^2.
Ding Dong Cette surface décrite par l’équation x2+y2+z3=z2x^2+y^2+z^3 = z^2 fut l’une des toutes premières visualisations que nous avons essayées. L’équation et la forme sont simples : une boucle verticale en forme d’alpha tourne autour de l’axe zz. Mais il y eut un problème avec la coloration. Le vert est généralement assez compliqué pour les visualisations tridimensionnelles de surfaces et a de plus tendance à devenir mat ou à jaunir. L’éclairage et la réflexion doivent être bien testés. Notons que l’ombre en disque bleu clair intensifie l’effet d’espace.
Taube (Colombe) 256z3128x2z2+16x4z+144xy2z4x3y227y4=0256z^3 − 128x^2z^2+16x^4z+144xy^2z−4x^3y^2−27y^4 = 0 La Colombe (Taube) possède l’étonnante formule: 256z3128x2z2+16x4z+144xy2z4x3y227y4=0.256z^3 − 128x^2z^2+16x^4z+144xy^2z−4x^3y^2−27y^4 = 0. Les coefficients ne sont pas choisis au hasard. Au contraire, l’équation provient d’une autre formule plus générale, connue sous le nom de discriminant. Il décrit l’ombre d’une surface ou d’une variété, obtenue par la projection de celle-ci sur une surface ou sur un espace vectoriel de plus grande dimension. La trace obtenue est clairement définie par la surface et par la projection, de même que la forme de l’équation d’un point de vue algébrique.
Variété de Calabi-Yau The super-string theory adds 7 extra spatial dimensions to our familiar 4-dimensional space-time. These 7 dimensions could be very very small (Planck length) and be defined as Calabi-Yau manifolds.
Mouvement brownien tri-dimensionnel The colors used (magenta,red,yellow,green,cyan) are an increasing function of the time and the ‘external border’ of its bidimensional projection is displayed as a white curve.
Cardioidal Variation I La puissance des ordinateurs actuels, l'existence d'outils de modélisation, l'avènement des imprimantes 3D rendent possible, à peu de frais, l'exploration des mathématiques par tout un chacun. Avec quelques notions de programmation et un ordinateur «standard», on peut engendrer ...
Cardioidal Variation III
Cardioidal Variation IV
Cardioidal Variation I A shape derived from the Pedoe method for generating a cardioid. This object is used by the rock group Marillion for the cover of their 17th album.
Pieces for Boy’s surface All pieces here are parts of either: planes, cylinders, tori, a sphere, that have been cut by intersecting with planes or cylinders. They can be assembled to make a model of Boy’s surface.
A CSG model of Boy’s surface It is possible to make a smooth* model of Boy’s surface with simple primitives using Constructive Solid Geometry (CSG) *: there is a tangent everywhere, and it varies continuously** with the point. **: the modulus of continuity of the normal with respect to its base is Lipschitz: we have a C1+Lip surface.
Assembly The blue piece is part of a sphere, cut by cylinders and rectangles. It is quite a miracle that it smoothly fits to close the surface.
L’attracteur de Lorenz Le modèle atmosphérique de Lorenz est ce que les physiciens appellent un modèle-jouet : bien qu’il soit simplifié au point de ne plus être réaliste, Lorenz se rendit bientôt compte que ce modèle était très intéressant. Si l’on considère deux atmosphères quasi-identiques (deux points qui sont très proches dans le modèle de Lorenz), on peut rapidement voir la séparation des deux évolutions de manière flagrante : les deux atmosphères deviennent complètement différentes. Lorenz vit dans son modèle la dépendance sensible aux conditions initiales : le chaos. Ce qui est également remarquable est qu’en partant d’un grand nombre d’atmosphères virtuelles, même si leurs trajectoires semblent un peu folles et imprévisibles, elles s’accumulent toutes sur un même objet de la forme d’un papillon et appelé un attracteur étrange.

Affiches A0 première vague

Pour chaque image du tableau ci-dessous, nous avons une affiche A0 tirée sur bâche avec oeillets.

Nous avions tiré ces affiches en octobre 2015 pour l'expo à l'IHP à l'occasion des 25 ans de la société mathématique européenne.

Ces images ont toutes été exposées à diverses occasions. Certaines étaient exposées au salon CJM 2016.

Image et lien Description sur Imaginary
The Real Projective Plane is the space of lines in real three-dimensional space (R3) passing through the origin. When the mathematician Jakob Steiner stayed in Rome, he thought of a mapping of the Real Projective Plane into R3. The resulting surface intersects itself. It is now called Roman Surface or Steiner Surface. There is a triple point in the origin and each of the three coordinate planes is tangential to the surface. Apart from the origin, the segments along the coordinate axes are double points, which terminate in six pinch points. In the picture you see a yellow Roman Surface surrounded by six parts of the Roman Surface, meeting at the pinchpoints, emphasizing the high degree of symmetry of the surface.
Une réalisation d’un arbre de Bienaymé-Galton-Watson. L’ancêtre, au centre de l’image, a deux enfants. Chaque individu a à nouveau un nombre aléatoire d’enfants (entre 0 et 3 dans cette simulation), tous les nombres d’enfants étant indépendants et identiquement distribués. Pour une explication détaillée, voir http://images.math.cnrs.fr/La-probabilite-d-extinction-d-une.html
here, a Mobius transform turned the universe upside down : the purple circles were initially very far from the center of the image. A nice way to create a camaieu in the center of the picture.
This image shows constrained Willmore surfaces (critical surface for the bending energy under angle preserving deformation) in 3-space. To be precise, it is a 2-lobed constrained Willmore hopf torus of non rectangular conformal type. These are conjectured minimizers of the Willmore energy in their respective conformal type. It was discovered by Lynn Heller, Martin Kilian, Franz Pedit and Nicholas Schmitt (2012).
Je me suis inspiré de Slinky, le jouet de ressort métallique qui marche dans les escaliers. Lorsqu’il est comprimé, il forme un cylindre avec une ellipse comme section transversale. Les bouts restent circulaires, parallèles ou anti-parallèles. Les pièces sont assemblées pour faire des structures souples. Elles ont conduit à la découverte de plusieurs polyèdres mutants.
On peut réaliser un modèle lisse de la surface de Boy en CSG, Cette surface, découverte par Werner Boy au début du XXème siècle, s'auto-intersecte et possède de nombreuses propriétés intéressantes. On peut par exemple l'obtenir en repliant une sphère sur elle-même de sorte que les points opposés se rencontrent. Cela n'a cependant rien d'évident. La CSG (Constructive Solid Geometry) est une technique de modelisation d'objets à partir de formes simples et d'opérations élémentaires. Les formes de bas utilisées ici sont des plans, des cylindres, des tores et une sphère. Les opérations consistent à prendre des intersections, des unions, des différences et des complémentaires. Le modèle est lisse, au sens où il y a un plan tangent en tout point, et la direction de ce plan varie proportionnellement au déplacement (techniquement la surface est C1+LipC^{1+Lip}
Los nudos matemáticos se estudian en la topología y se clasifican en dos: los mansos y los salvajes. Los nudos mansos son los que se pueden construir con una cuerda en la vida real. Los nudos salvajes son los que no. En esta imagen podemos observar un pedazo de un nudo salvaje. Este está construido a partir de un collar, anudado, de esferas reflejantes; y en realidad, corresponde a la curva que está contenida en las sucesivas imágenes del collar en cada una de las esferas, iterativamente. Este curva tiene, además, naturaleza fractal.
[]() Le Tore tressé est une surface anulaire à courbure moyenne constante dans la sphère de dimension trois, elle-même courbée. La mettre en évidence demande tout d’abord de la projeter dans notre espace plat. Heureusement, ceci est réalisable de sorte que les caractéristiques essentielles de la forme soient conservées. Inclus dans son espace de dimension trois, il possède une symétrie de vissage qui peut encore être maintenue lors de la projection. Le Tore tressé n’est qu’un exemple simple parmi une infinité de surfaces annulaires toujours plus complexes ayant des propriétés de courbure semblables. La surface a été développée par Nicholas Schmitt (GeometrieWerkstatt Tübingen), dont il a établi l’image en utilisant le logiciel XLab.
Les arches qui tiennent toutes seules sont omniprésentes en architecture depuis des siècles. Cependant, la conception de ces surfaces est un domaine relativement nouveau des mathématiques. En partant d’une idée ou d’une forme, les mathématiciens essayent de trouver des discretisations de ces formes (ou de leurs variantes) de telle sorte qu’elles puissent être réalisées comme une construction stable, même si elles sont courbes et penchées ou contiennent des trous comme dans cet exemple. Les mathématiciens de l’équipe SFB/Transregio Discretization in Geometry and Dynamics developpent des algorithmes et des méthodes our calculer des solutions optimales à ces problèmes.
Le mouvement brownien fut découvert en 1827 par le botaniste anglais Robert Brown lors de l'observation au microscope de grains de pollen dispersés à la surface d'un liquide. Il trouve son origine dans les innombrables chocs entre les molécules de liquideet les grains. Ce phénomène fut en particulier étudié par Albert Einstein (1905) et ensuite, grâce aux expériences de Jean Perrin, il constitua une prevue essentielle de la structure atomique de la matière. Ces études furent ensuite poursuivies sur le plan mathématique, en particulier par Paul Lévy qui fut professeur - et certainement inspirateur - de Bénoît Mandelbrotlors de ses études à l'École polytechnique. Cette Image represente le mouvement brownien d'une particule dans l'espace à trois dimensions : il consiste en une suite de déplacements aléatoires (en direction et en amplitude) indépendants les uns des autres(la couleur est tout simplement une fonction du temps). La courbe blanche représente le contour (ou enveloppe) de la projection plane de cette trajectoire tridimensionnelle

Affiches A0 deuxième vague

Pour chaque image du tableau ci-dessous, nous avons une affiche A0, tirée peu avant le salon CJM 2016.

Au 25 mai 2017, certaines de ces images n'ont pas encore été exposées.

Image et lien Description sur Imaginary
Explaining these images in a few lines is very difficult. More information can be found in this article: http://www.ams.org/featurecolumn/archive/lorenz.html
Le modèle atmosphérique de Lorenz est ce que les physiciens appellent un modèle-jouet : bien qu’il soit simplifié au point de ne plus être réaliste, Lorenz se rendit bientôt compte que ce modèle était très intéressant. Si l’on considère deux atmosphères quasi-identiques (deux points qui sont très proches dans le modèle de Lorenz), on peut rapidement voir la séparation des deux évolutions de manière flagrante : les deux atmosphères deviennent complètement différentes. Lorenz vit dans son modèle la dépendance sensible aux conditions initiales : le chaos. Ce qui est également remarquable est qu’en partant d’un grand nombre d’atmosphères virtuelles, même si leurs trajectoires semblent un peu folles et imprévisibles, elles s’accumulent toutes sur un même objet de la forme d’un papillon et appelé un attracteur étrange.
La surface colorée en vert sur l’image a trois symétries de translations orthgonales. C’est la surface de niveau donnée par l’équation trigonométrique : 4(cosxcosy+cosycosz+coszcosx)3cosxcos+ycosz=2.44(\cos x\cos y+\cos y\cos z+\cos z\cos x) - 3\cos x \cos-+ y \cos z = -2.4. Une cellule fondamentale a l’allure d’une cavité centrale cubique bordée de tubes sur les faces et les coins. Cette surface est une bonne approximation de la P-surface minimale découverte en 1880 par Karl Hermann Amandus Schwarz (qui fut professeur à Halle, Goettingen et Berlin). Elle a été étudiée récemment par des chercheurs en sciences de la matière, qui l’ont utilisée comme d’autres surfaces pour modeler les «copolymères à blocs». Le modèle original provient de David A. Hoffman. Il a été illustré et mis dans une scène qui semble contribuer à la beauté de l’objet, et est obtenu en utilisant Bryce.
y=floor(x)
Using a single formula, you can create images of a cube, a dodecahedron, a rhombic dodecahedron, and an octahedron, just by changing the two parameters a and b.(ax+by+z)2n+(ax+by+z)2n+(x+ay+bz)2n+(xay+bz)2n+(bx+y+az)2n+(bx+yaz)2n=1.(ax+by+z)2n+(-ax+by+z)2n+(x+ay+bz)2n+(x-ay+bz)2n+(bx+y+az)2n+(bx+y-az)2n=1. This formula was obtained by constructing a dodecahedron out of three golden rectangles. Their 12 vertices span an icosahedron. The dodecahedron and the icosahedron are dual pairs, meaning faces and vertices are interchanged. Taking the coordinates of the vertices of the icosahedron as coefficients of the simple equation ax+by+cz=d describes a plane orthogonal to the corresponding vertex vector (a,b,c). Since an antipodal pair of vertices yields two parallel planes, we obtain six planes parallel to the twelve faces of a dodecahedron. Find out more about the formula here. Watch an animation displaying transformations between these four polyhedra here.
Remarque: sur l’image et le fichier 3d qui l’accompagne la coordonnée Z a été mise à l’échelle par un facteur √2/4.
Cette surface de degré 6 (sextique) a été construite par Wolf Barth en 1996. Au total, elle a 65 singularités en tenant compte des 15 qui sont invisibles, situées à l’infini. Ce nombre de 65 est le nombre maximal de singularités d’une sextique, comme démontré en 1997 par Jaffe et Ruberman. La construction de Barth fut une grande surprise: les géomètres crurent longtemps qu’une surface de degré 6 ne pouvait avoir plus de 64 singularités. La symétrie icosaédrale est l’une des caractéristiques frappantes de la sextique de Barth. Les sextiques à 65 singularités n’ont cependant pas toutes ce type de symétrie; il existe en fait une famille à 3 paramètres de surfaces à 65 singularités ! On peut choisir presque arbitrairement ces trois paramètres pour obtenir une telle surface. L’équation exacte de la sextique de Barth est P6 − αK2 = 0, où P6 = ( τ2x2−y2)( τ2y2−z2)( τ2z2− x2), τ= 1/2(1+√5) est le nombre d’or, α = 1/4(2τ+1)=1/4(2+√5) et K = x2+y2+z2−1 décrit la sphère de rayon 1.
Les figures de cette image sont emboîtées à la façon de l’artiste M. C. Escher, mais elles n’ont pas l’ordre périodique qui caractérise son œuvre graphique. L’arrangement des poissons et raies est dérivé de l’image précédente, un pavage de Penrose quasi-périodique et géométrique. Les coins des figures correspondent aux coins du pavage géométrique, tandis que les bords des tuiles sont déformés aux contours des figures. Contrairement aux tuiles géométriques, qui permettent également des pavages périodiques, la forme de l’emboîtement entre les poissons et les raies force un ordre quasi-périodique. Deux tuiles géométriques de même type, qui diffèrent d’une rotation de 36 degrés l’un d’autre, correspondent à deux figures renversées.
La structure sous-jacente de cette image est un pavage de Penrose quasi-périodique par des losanges, une structure géométrique utilisée pour modeler les quasi-cristaux décagonaux. La forme de la partie en jaune présente une symétrie de rotation d’ordre 10 malgré son centre qui n’est pas de symétrie. Cette forme est communément appelé une roue. En prenant 35 positions différentes, la jeune femme démontre ce que signifie la phrase faire la roue. Telle une allusion à l’ordre difficile d’un pavage spatial en losanges de Penrose, elle nous tourne 15 fois le dos. Vous pouvez comparer ceci avec la capture III du livret de description dans le document pdf ci-dessous (en anglais et allemand).

Affiches A0 troisième vague

Pour chaque image du tableau ci-dessous, nous avons une affiche A0, tirée peu avant le salon CJM 2017.

Image et lien Description sur Imaginary
‘Wild Army II’ is part of the collection ‘Twelfth Night’. Depending on the region, three to twelve nights around Christmas time have a traditional significance. In German, they are called ‘Raunächte’ (Twelfth Night). According to a folk myth, during those nights the wild hunt is performed. The hunters may be either elves or fairies or the dead. Also ghosts and souls of the dead are being furloughed.
L’image ci-contre s’est inspirée de l’oeuvre renommée de l’artiste néerlandais M. C. Escher dont les figures sont jointes de manière quasi-parfaite. Les principes d’arrangement d’Escher étaient périodiques et correspondaient à l’ordre atomique des cristaux. En revanche, l’image qui est représentée ici est basée sur un pavage de Penrose quasi-périodique. Il correspond ainsi à un ordre atomique quasi-cristallin avec une symétrie de rotation d’ordre 5, qui ne peut être cristallographique. Les poissons en rouge nagent dans cinq orientations différentes qui diffèrent de rotations multiples de 36 degrés les unes des autres. La couleur turquoise nous permet de deviner la forme de la roue.

Objets 3D dont on dispose

(ils ne sont pas tous sur Imaginary, mais ils sont tous libres)

Image et lien Description et/ou commentaires
Polyèdre minimisant dans le sens suivant: prenez 8 poins dans l'espace, prenez leur enveloppe convexe, cherchez, à volume fixé, quelle est la configuration des points qui donne la surface totale des faces la plus petite. En entendant ce problème on pourrait penser au cube. Mais dans le cube de volume 1, la surface vaut 6, mais dans le polyèdre d'Akiyama de volume 1, la surface vaut 5.4...
Taube est une surface algébrique de degré 5 qui apparaît dans les galeries de Herwig Hauser. Notons que dans la galerie de Hauser on trouve une équation et une image qui correspond en fait à une surface voisine de celle donnée par l'équation. Le modèle 3D correspond à l'équation elle-même.
Sextique de Barth. C'est une surface record. Elle a 65 singularités coniques (en projectif; seulement 50 en affine, les 15 autres sont "à l'infini"), le maximum pour une surface algébrique de degré 6. Le modèle représente en fait une surface voisine de la surface de Barth de sorte que les singularités coniques sont remplacées par des petits tubes. (Parfois il faut déformer pour mieux représenter!)
Eistüte, une des surfaces algébriques de la galerie Herwig Hauser. Dans l'image de la galerie la surface est tronquée par un cube, ici par une sphère. Le fichier 3D est hélas perdu! À refaire un jour...
Kolibri, par Herwig Hauser et Alba Málaga. C'est la première qu'Alba a faite. Assez difficile à imprimer mais curieusement ça a bien marché la première fois (sur la makerbot replicator du CampusFab à Toulouse), en deux heures c'était fait et la finition était presque parfaite. Depuis c'est plus dur comme le montrent les autres essais.
Schneeflocke (flocon de neige) par Herwig Hauser et Forwiss Institute. Surface algébrique de degré 5, avec une unique signularité d'angle totale supérieur à un tour.
TreFunKnot par Treepleks. Disponible sur Thingiverse.
Herz, par Herwig Hauser et Alba Málaga.
Zitrus, par Herwig Hauser et Forwiss Institute
Cube Soma. Conçu par Piet Hein.
Le 120, par Arnaud Chéritat.
Nepali, par Herwig Hauser, et Forwiss Institute

Films disponibles dans Film Slider

Image et lien Description dans IMAGINARY/Film-Slider
Des nœuds sauvages Il est facile de nouer un collier. Si sur ce collier sont enfilées des perles sphériques et réfléchissantes, nous pourrons observer un phénomène similaire à celui qui se produit en plaçant deux miroirs plats en parallèle. Sur chacune des perles du collier, nous pourrons voir l’image réfléchie des autres perles, comme une copie du reste du nœud. Nous pourrions penser que cette image réfléchie correspond à un deuxième collier réalisé avec des plus petites perles à l’intérieur du collier d’origine. Pourtant, il n’y a pas de raison pour s’arrêter là. Dans chacune des perles de ce nouveau collier le même phénomène réapparaît: le reste du collier y est réfléchi et dans chacune des images réfléchies nous retrouvons des morceaux de nœuds de plus en plus complexes. A la fin, il ne reste qu’un nœud sauvage. Qu’est-ce qu’un nœud sauvage? Pour en savoir plus, visitez <elirracional.org/index.php/2426/que-es-un-nudo-salvaje> (en espagnol).
L'épitadodécaèdre pour visualiser l'espace dodécaédrique de Poincaré Tout comme le concept d’espace dodécaédrique par Henri Poincaré, l’épitadodécaèdre permet de visualiser le principe des contre-mouvements du polyèdre opposé E+ à la place des espaces pentagonaux, dans la description de la sphère d’homologie de Poincaré que l’on trouve dans son «Cinquième complément». Cela montre clairement les différentes symétries apparaissant au fur et à mesure, se cristallisant après chaque rotation de 36°, conformément à la manière dont, en 1904, Poincaré imagina la forme de l’Univers. L’épitaèdre est un heptaèdre découvert récemment et fournit la représentation tridimensionnelle des cerf-volants et fléchettes des pavages de Penrose. Les longueurs des côtés ainsi que les volumes des épitaèdres – E- (concave), E+ (convexe) et l’assemblage des deux, EE (E- : E+ = E+ : EE ) – font apparaître le nombre d’or φ (≅ 1.618). Ainsi, les épitaèdres forment des pavages de l’espace gouvernés par le nombre d’or, à l’instar des Pavages de Penrose irréguliers du plan, qui est une tranche de l’espace de dimension 5. En assemblant 12 épitaèdres en un dodédaèdre appelé épita-dodécaèdre, un autre dodécaèdre apparaît naturellement au centre d’un espace de configuration complexe. Ceci est relié au fait qu’un épitaèdre peut être déplié à partir d’un unique pentagone, bien qu’il manque alors un triangle obtus (Quantum Cinema, 2012). Il peut donc être vu comme un pentagone tridimensionnel, ce qui montre que l’assemblage résulte nécessairement en des configuations de dimension plus grande. L’intersection des apex des 12 polyèdres forme 25 sous-espaces avec différentes formes au centre, en forme d’étoiles en raison des 60 faces. On y retrouve les 26 dimensions qui apparaissent en mécanique quantique. Au centre de l’épita-dodécaèdre, un autre petit dodécaèdre apparaît au sein d’une configurations complexe d’espaces s’intersectant. Jusqu’ici, nous avons pu identifier 4 formes solides centrales différentes : un dodécaèdre, l’icosaèdre, l’icosidodécaèdre appartenant au groupe des solides archimédiens et, jusqu’ici non-mentionné, l’icosidodécaèdre étoilé. Les cellules en pyramides pentagonales, qui s’appuient sur chaque face du dodécaèdre, forment le petit dodécaèdre étoilé. L’espace dodécaédrique basé sur l’idée de Poincaré a été explicité par Threlfall et Seifert, qui ont caractérisé en utilisant un dodécaèdre les faces opposées identifiées après une rotation de pi/5. Il porte l’adjectif «sphérique» car il est borné par des pentagones sphériques, étant obtenu comme l’intersection de 12 boules (Threlfall et Seifert, 1931). De la même manière que ce concept, l’épitadodécaèdre permet de visualiser le principe des contre-mouvements des polyèdres opposés E+, au lieu des espaces pentagonaux de la description par Poincaré de la sphère d’homologie dans son «Cinquième complément». Ainsi, on voit clairement les différentes symétries apparaissant au fur et à mesure, se cristallisant à chaque rotation de 36°, comme Henri Poincaré l’anticipa en 1904. Ainsi, cette unique cellule de l’espace de dimension supérieure permet l’assemblage en un espace indéfiniment remplissable qui possède un bord ayant la forme d’un dodécaèdre, de manière similaire, le bord d’un motif de Penrose, un pentagone avec une forme décagonale ayant le même axe de symétrie. L’artiste-scientifique Arthur I. Miller résume : Le cinquième élément - la quintessence - a une forme géométrique en épitaèdre tandis que nous vivons dans un espace de Poincaré dodécaédrique, nommé d’après le mathématicien français Henri Poincaré. (Miller, 2013)
Chaos : chapitre 1 Un film sur les systèmes dynamiques. Pour plus d’informations: http://www.chaos-math.org
Anima Surfer est un film d’animation réalisé pour l’exposition Formas & Fórmulas (Portugal 2012 - 2013). Il présente plusieurs surfaces algébriques réalisées avec le programme SURFER incluant des mouvements, des surfaces multiples, des équations ainsi que quelques effets spéciaux.
Bouteilles et océanographie Il existe, sous la surface de nos océans, un immense réseau de courants marins, véritables tapis roulants des mers, qui transportent des masses d’eau absolument gigantesques. Bien que la cartographie de ces courants soit extrêmement complexe, leur existence est due à des processus physiques très simples. Nous allons nous intéresser au processus élémentaire qui est à l’origine de la mise en mouvement de gigantesques masses d’eau. Nous verrons que tout repose sur leur différence de masse volumique. Ceci peut être expliqué mathématiquement, et illustré grâce à des simulations réalisées par ordinateur ou à une expérience réalisable par tous, à l’aide de bouteilles plastiques, de pailles et de sirops alimentaires… Pour plus de détails, voir http://interstices.info/circulation-oceanique La version française de la vidéo est visible ici.
Les tresses : Chapitre 1 Un voyage à travers la théorie mathématique des tresses. Ce film est divisé en quatre chapitres de quinze minutes environ. Le premier présente les concepts basiques: la formalisation des tresses, la structure du groupe sur l’ensemble des tresses et la présentation d’Artin du groupe des tresses. On décrit désormais une tresse par un mot sur un ensemble de lettres qui sont vues comme des générateurs. Le second chapitre retrace le problème des mots: quand est-ce que deux mots représentent la même tresse? Deux algorithmes sont présentés afin de résoudre le problème, le «peignage» des tresses d’Artin ainsi que la réduction des boucles. Dans le troisième chapitre, la vidéo présente les nœuds et les met en relation avec les tresses. A la fin, le polynôme de Jones est introduit: il est un puissant invariant de nœud et fut défini à l’aide des tresses. Le dernier chapitre présente les tresses telles des «danses», c’est-à-dire des mouvements de points dans le disque. Le groupe de Hilden, sous-groupe du groupe des tresses, est défini et relié à une autre manière de refermer des tresses afin d’obtenir des nœuds. Pour plus d’informations: http://matematita.science.unitn.it/braids/summary.html
Le cube de Roli Une promenade sur un polytope chiral de petite dimension «Cet objet spectaculaire est formé de douze hélices, deux de chaque couleur, avec la propriété que chaque hélice touche toutes les autres, exception faite de celle de la même couleur. Les hélices ont comme structure de base l’hypercube quadridimensionnel, appelé aussi tesseract. Cet arrangement d’hélices possède un ensemble de symétries riche qui fait que les hélices seraient indistinguables entre elles si elles portaient toutes les mêmes couleurs. Ces symétries ont un rapport intrinsèque avec les rotations du tesseract. Il est intéressant de noter que ce complexe d’hélices n’admet pas de symétrie de réflexion, c’est quelque chose difficile à réaliser pour un objet aussi symétrique.» Daniel Pellicer Pour en savoir plus : http://arxiv.org/abs/1311.1558
Suites d'intersections sur le Pentagone Double En utilisant les couleurs et les mouvements, la vidéo illustre ce que j’ai prouvé dans ma thèse de doctorat. Elle explique ce qu’est une surface de translation et quel est le théorème démontré à leur sujet. Le but de cette vidéo est d’expliquer, à travers la danse, les résultats de ma thèse de doctorat. Mon objectif second est de montrer ce que la recherche mathématique signifie vraiment (la plupart des gens pensent qu’il ne s’agit que de regarder des formules dans des livres). La danseuse (Libby) nous montre au début de la vidéo comment deux pentagones peuvent être collés et former une surface. Il s’agit de l’idée clef de cette vidéo, l’explication de la science sans parole, juste par la danse. Elle est facilement compréhensible et reste en mémoire. C’est ma partie préférée! D’accord. Revenons à nos moutons. Imaginez que vous marchez sur une ligne droite sur un bagel (petit pain avec un trou). Vous passerez peut-être directement par le trou avant de retourner à l’endroit où vous avez commencé. Ou sinon vous ferez peut-être le tour par l’extérieur (comme si vous suiviez l’équateur) et retournerez là où vous étiez. Ou peut être marcherez-vous sur un chemin en spirale (toujours une ligne droite), à travers le trou et autour du bagel un certain nombre de fois avant de retourner là où vous avez commencé. Dans la partie suivante de la vidéo, Libby danse à travers le pentagone en ligne droite. C’est exactement ce que j’essayais d’expliquer en parlant de chemin en spirale sur le bagel: elle danse en ligne droite et continue sur la surface plusieurs fois (huit fois car il y a huit segments de droites sur les pentagones) avant de retourner là où elle avait commencé et de répéter le parcours. Quand Libby danse en ligne droite sur les pentagones, elle traverse les côtés colorés de ceux-ci. On prête attention à ces côtés traversés, et nous pouvons garder leur trace en utilisant un personnage dont la couleur du tee-shirt est celle du côté. Cela créé une suite de couleurs périodique qui se répète au bout de huit fois. Mes recherches sont basées sur les changements des suites de couleurs lorsque la surface du pentagone est modifiée. On «déforme, on coupe et on réassemble ces pentagones», voilà ce qui est montré dans le vidéo. Les huit lignes d’origine des pentagones prennent une forme différente: quatre lignes à l’évidence. Quand Libby danse sur ces quatre lignes, elle réalise des spirales différentes mais aussi plus petites sur le bagel. Elle traverse les côtés colorés, ce qui nous donne une nouvelle suite de personnages aux tee-shirts colorés. La problématique de ma thèse est: quelle est la différence entre la suite de couleurs de longueur 8 et celle de longueur 4? La réponse: Chaque personnage vérifie si il/elle est entouré-e par la même couleur des deux côtés. Si oui, il/elle reste en ligne (garde son chapeau), sinon, il/elle doit partir (retire son chapeau). Voici mon théorème: le fait de déformer et de réassembler les pentagones est équivalent au fait de voir si les couleurs sont les mêmes des deux côtés. Je ne suis pas la première personne à avoir prouvé un théorème de ce genre. John Smillie et Corinna Ulcigrai ont étudié les surfaces octogonales régulières, ce qui est similaire au pentagone double excepté le fait qu’on identifie les côtés opposés parallèles (de la même couleur) de l’octogone. Ils ont prouvé qu’en «déformant, coupant et en réassemblant l’octogone, l’effet sur la suite des couleurs est de garder seulement les éléments ayant la même couleur des deux côtés. Ma contribution a été de montrer que ces méthodes s’appliquent aussi aux surfaces en pentagones doubles. Si cela vous intéresse, plus de détails figurent sur mon article dont la vidéo constitue le résumé: http://www.math.northwestern.edu/~diana/math/VeechPolygons.pdf. L’introduction de cet article est très accessible et contient beaucoup d’images. En référence, vous pourrez trouver les articles de Smillie et de Ulcigrai, dont l’introduction est aussi accessible à tous. Les côtés de ces polygones y sont identifiés par des lettres et non plus par des couleurs.
Dimensions : Chapitre 1 Neuf chapitres, deux heures de maths, qui vous emmènent au-delà de la quatrième dimension. Vertiges mathématiques garantis ! Pour plus d’informations, consulez http://dimensions-math.org
November Rhapsody La sortie officielle de la chanson d’Ulliroyal, November Rhapsody. C’est une collaboration avec Ulliroyal qui a permit la création de ce clip vidéo en novembre 2012. Les scènes de survols au début et à la fin du film ont été développées et réalisés durant l’été 2012 avec Mandelbulber. Il s’agit de simples ensembles de Julia à échelle négative et des plans de pliage tournés. Les scènes de coupe au milieu ont été réalisées en octobre 2012, avec des Amazing Surfaces et des IFSes dans des Mandelbulbs en 3D.
La maison convertible Le film «La maison convertible» représente un plan de maison virtuel changeant de structures en fonction du temps et des conditions environnementales. Sa forme influe sur l’exposition des pièces à la lumière du soleil ou sur sa protection face aux tempêtes. Cette conversion est basée sur la solution du problème Haberdasher, problème mathématique populaire du siècle dernier. Le but est de diviser un triangle equilatéral en quatre pièces qui peuvent être réarangées en carré. Le film présente plusieurs configuration de maisons possibles accompagnés de poèmes haiku écrits huit poètes japonais classiques entre le 17ème et le 20 ème siècle. Ces poèmes sont choisis en fonction des caractéristiques de la maison avec l’idée de promouvoir la proximité de celle-ci avec la nature.
LPDJLQH D VHFUHW Voyage artistique dans le monde de la cryptographie sur les courbes elliptiques. Les triplets pythagoriciens comme (3, 4, 5) ou (4961, 6480, 8161) étaient bien connus des Babyloniens autour de 1600 av. J-C. Ils connaissaient également leur correspondance avec les triangles rectangles à cotés entiers et le problème consistant à scinder un carré donné en deux carrés. Bien que de tels triplets aient été étudiés en détail depuis le temps d’Euclide, autour de 300 av. J-C, ce fut seulement au milieu du XVIIème siècle que Pierre de Fermat formula l’observation suivante : « il est impossible de partager soit un cube en deux cubes, soit un bicarré en deux bicarrés, soit en général une puissance quelconque supérieure au carré en deux puissances de même degré » Ceci devint le fameux « dernier théorème de Fermat » établissant que l’équation a^n+b^n=c^n n’a pas de solution entière non nulle dès lors que n est plus grand que deux. Il a été prouvé entièrement en 1994, à peu près trois siècles et demi plus tard, utilisant la théorie des courbes elliptiques… développée au XXème siècle ! Les courbes elliptiques ont de belles et profondes propriétés. Ce sont des courbes planes du type y²=x³+a·x+b et qui ont été étudiées depuis le XIXème siècle. Cette équation dans le plan affine correspond à l’équation homogène y²z= x³ + a·xz² + b·z³ qui décrit dans l’espace une famille de surfaces algébriques à deux paramètres a et b. La variation computationnelle de ces équations génère de belles animations qui stimulent notre imagination et évoquent notre créativité mathématique. La cryptographie est un ensemble de méthodes sûres permettant de transmettre et protéger informations précieuses et secrètes. Depuis 1977, le système de chiffrement asymétrique RSA est largement utilisé. Il est basé sur la théorie des nombres premiers et sur la difficulté de factoriser les grands nombres entiers. Suite à l’impact de la méthode des courbes elliptiques pour la factorisation d’entiers, les mathématiciens ont inventé en 1985 la cryptographie sur les courbes elliptiques (ECC, pour « Elliptic Curve Cryptography » en anglais) et, depuis, la sophistication mathématique de la cryptographie a été portée à un tout autre niveau. La sécurité des algorithmes ECC est basée sur le problème logarithmique des courbes elliptiques qui semble être un des plus grands problèmes de l’arithmétique des corps finis. Les avancées récentes laissent entendre qu’un certain niveau de sécurité désiré peut être obtenu avec des clefs significativement plus petites, par exemple, qu’une clef ECC de 160 bits fournit le même niveau de sécurité qu’une clef RSA de 1024 bits. La théorie des courbes elliptiques illustre la beauté des liens entre la théorie des nombres, l’algèbre et la géométrie et fournit un puissant outil mathématique pour renforcer la sécurité du commerce électronique et des communications. La vielle et peu fiable méthode de chiffrement par décalage, utilisant la trop simple opération mathématique consistant à chiffrer un message dans l’alphabet usuel au moyen de la formule d = c - 3 (mod 26) est obsolète. Cependant, elle nous donne la clef pour déchiffrer le titre de ce film. Pour télécharger le film en haute résolution en portugais, allemand, anglais et espagnol, visitez : http://www.cim.pt/LPD-UHW

Autres objets 3d

Image et lien Description et commentaires
Globe terrestre, pour accompagner l'application "Mappae mundi"
Tapis de Sierpinski, découpé à la découpeuse laser
Surface de Boy, obtenue à l'imprimante 3d à double extrusion, avec la surface de Boy en PLA bleu; le support en PVA qui a servi à l'impression a ensuite été dissous à l'eau chaude.
Casse-tête tétraèdre à deux pièces, en rouge et noir.
Casse-tête tétraèdre à 4 pièces oranges.
Casse-tête cube à six faces oranges.
Casse-tête cube à trois pièces, en blanc.
Casse-tête sphère à 6 pièces, en noir.
Casse-tête dodécaèdre à 6 pièces.
Casse-tête cube à deux pièces, en rouge et noir.
Casse-tête à 24 pièces formant un squelette de cube avec 8 octaèdres aux sommets.
Casse-tête à 24 pièces formant un squelette de cube avec 8 sphères aux sommets.
Casse-tête permettant de reconstruire une éponge de Menger niveau 3. Ce casse-tête possède plus de 300 pièces - on aura un casse-tête déjà monté et encore deux autres pour que les gens s'amusent.

Logiciels et applications

Nous aurons sur le stand quatre ordinateurs tournant sous "Imaginary OS", une distribution Linux à base de Lubuntu et contenant une bonne quantité de logiciels libres IMAGINARY.

Les logiciels sont disponibles individuellement depuis la galerie de logiciels IMAGINARY: https://imaginary.org/fr/programs

Le tableau ci-dessous reprend une brève description de ces logiciels.

Image et lien Description sur imaginary.org
SURFER --- Avec SURFER, vous pouvez appréhender de manière interactive le lien entre les formules et les formes, autrement dit entre l’art et les mathématiques. Vous pouvez écrire des équations simples qui produisent de belles images représentant des surfaces dans l’espace.
SURFER est une extension en Java du programme SURFER2008 qui fut développé pour l’exposition IMAGINARY en Allemagne lors de l’année des Mathématiques.
Morenaments --- Avec Morenaments, vous pouvez facilement peindre des motifs symétriques dans un des 17 groupes de symétrie de l’espace euclidien. Découvrez les propriétés géométriques en examinant la structure interne des centres et axes de symétries. Laissez s’exprimer votre créativité en toute liberté et voyez comment vos quelques coups de pinceau remplissent l’espace de magnifiques ornements.
3D-XplorMath --- 3D_XPLORMATH est l’un des programmes les plus complets pour explorer les mathématiques. D’innombrables objets, animations et possibilités invitent l’utilisateur à vivre les mathématiques à travers des lunettes 3D!
Le programme se présente ainsi: diverses séries de galeries exposant des objets mathématiques intéressants, variant entre des courbes planes et de l’espace aux polyèdres, et des surfaces jusqu’aux équations différentielles ordinaires et aux dérivées partielles, et aux fractales. Par ailleurs, les paramètres choisis par défaut ainsi que les options d’affichage peuvent être modifiés par l’utilisateur, permettant à la galerie de se transformer en laboratoire expérimental. Chaque objet d’exposition a sa propre documentation en ligne avec des suggestions sur les possibilités d’aller plus loin dans l’exploration. Nous espérons que cette méthode facilitera l’utilisation du programme aussi bien pour les profanes, les professeurs et les chercheurs.
Site internet du programme et liens téléchargeables: http://3d-xplormath.org
Sphere of Earth Ce module concerne la cartographie et la géométrie de la sphère. Les propriétés géométriques de la sphère et du plan sont fondamentalement différentes, et aucune carte plane ne peut représenter la Terre sans la déformer. Dans ce module, plusieurs propriétés géométriques sont présentées. On comparera différentes projections cartographiques. On essaiera de comprendre le sens de ces déformations et pourquoi il est impossible d’obtenir une carte parfaite.
La cartographie a pour but de représenter la surface sphérique de la Terre sur une carte plane. Elle a été un problème mathématique important tout au long de l’Histoire (navigation, position, frontières, propriété foncière, …). Un théorème essentiel en géométrie (le theorema egregium de Gauss) énonce que la carte parfaite n’existe pas. Il est en effet impossible de représenter la Terre sur une carte plane tout en préservant les distances. Toutefois, voilà exactement ce qui fait de la cartographie une discipline : développer plusieurs cartes différentes afin de résoudre, aussi bien que possible, le problème de la représentation de la Terre.
Nous présentons six projections cartographiques différentes, qui sont à comparer avec un globe terrestre. Même si toutes les cartes sont créées à l’échelle nominale 1:1 du globe terrestre, les déformations sont visibles. Nous proposons plusieurs activités sur les cartes et des outils qui illustrent les propriétés de chaque carte.
Dans une seconde partie, nous utilisons le programme « La sphère de la Terre ». Ce programme affiche les indicatrices de Tissot pour chaque carte. Ces indicatrices sont un outil mathématique graphique qui permet de comprendre la déformation inhérente d’une carte. Lorsque l’on bouge la souris sur la carte, une ellipse est dessinée autour du pointeur. Cette ellipse représente en fait un vrai cercle, mais la déformation de la carte fait que le cercle apparaît sous cette forme. L’examen de ces ellipses à différents endroits sur la carte nous apporte beaucoup d’informations sur les propriétés de la projection.
Les fichiers à télécharger comprennent les six cartes en taille poster, les programmes qui génèrent les cartes, le programme qui affiche les indicatrices de Tissot, un manuel technique et une série d’activités proposées.
Ce module a gagné le premier prix du concours « Mathématiques de la planète Terre 2013 ».
The Future of Glaciers --- Depuis plus d’un siècle, les glaciers alpins reculent. Cette tendance s’amplifiera si le climat se réchauffe davantage. Grâce à des modèles mathématiques, l’évolution future des glaciers peut être estimée.
Dans ce programme éducatif, un film de 5 min explique tout d’abord la modélisation mathématique des glaciers de façon divertissante. Ensuite, l’utilisateur est invité à choisir un scénario climatique pour le 21eme siècle et à voir l’évolution futur du plus grand glacier des Alpes selon le scénario choisi. Finalement, un second film «glacial mystery» explique comment la modélisation des glaciers a permis de faire avancer une enquête policière commencée en 1926!
dune-ash --- Dune Ash est un programme de simulation interactif d’éruption de volcan en Europe. Vous pouvez placer un volcan, orienter le vent et étudier la dispersion du nuage de cendres.
Cette application calcule une solution approchée de la dispersion des cendres volcaniques sur l’Europe après une éruption. Après avoir initialisé les données, les résultats sont calculés instantanément.
Les simulations numériques sont souvent utilisées en géophysique, comme pour les prévisions météorologiques ou la prédiction de la propagation de polluants dans l’atmosphère. Les modèles qui décrivent ces phénomènes sont habituellement exprimés sous la forme d’équations aux dérivées partielles (EDPs), dont la résolution est défi mathématique.
FroZenLight --- Des miroirs de forme circulaire disposés selon une grille réfléchissent les rayons de lumière en fonction des lois de l’optique géométrique. Alors qu’une position aléatoire de la source de lumière produit des structures de réflexion chaotiques, il est possible de positionner la source de lumière de sorte que de belles structures symétriques de réflexion apparaissent.
Cette application vous permet de changer de manière interactive les paramètres tels que la position de la source de lumière, le rayon des cercles ainsi que l’angle de rotation du réseau. Grâce à un menu simple, il est possible de sélectionner et d’explorer un large pan de structures symétriques de réflexion.
CrystalFlight --- Experience this interactive program and fly through a quartz, fluorite, or diamond crystal. You can steer a miniature spaceship through the crystal structures using your finger on a touchscreen, also in 3D.
TsunaMath --- Tsunamis are big oceanic waves that collide violently with the coast. Most often, tsunamis are created by earthquakes that produce a sudden change on the topography of the ocean seabed. This exhibit explains how tsunamis are modeled mathematically, and recreates simulations of historical catastrophes.
The relationship between the height of the tsunami wave and the magnitude of the seism that causes it is complex. The speed, acceleration, displacement and size of the tectonic plates affect the height of the wave and its initial velocity. Once the wave is traveling across the ocean, the depth of the sea influences also the height and velocity of the water, and once the wave hits the coast, the slope and the topography of the seabed and coastline modify significantly the wave.
Mathematically, the variables to be calculated are the height of the wave (water depth), and the velocity of the water at each point of the map. The data to be known beforehand is the height of the seabed at each point (bathymetry) and the local modification of this seabed due to the seism. The so called Saint-Venant equations, or shallow water equations, are a set of partial differential equations that model the relations between these variables and data. These equations cannot be solved explicitly, but numerical algorithms can give accurate approximations that allow to obtain good simulations of the wave of a tsunami.
Using these methods, the exhibit shows simulations of great historical tsunamis, such as the Crete tsunami of 365 AD, the Lisbon tsunami of 1755, the Sumatra tsunami of 2004 or the Japan tsunami of 2011. These reconstructions are based on historical documents and descriptions or, in the more recent cases, can be checked against experimental observations to evaluate the validity of the model. Although earthquakes and tsunamis are difficult to predict, these simulations, together with measurements of active seismic zones, can help to reduce the potential impact of tsunamis on populated areas. Building realistic scenarios of affected areas can be used to plan infrastructures accordingly.
Mappae mundi --- Explore the science of cartography and the geometry of map projections.
The main problem in cartography and mapmaking is representing the spherical surface of the Earth onto a flat map. No map can represent the Earth faithfully and without distortion. On the contrary, there are a multitude of maps, each one with different geometric properties and useful for different purposes.
Mappae mundi allows us to explore eight different projections of the Earth, using different tools to gain insigth on them:
Tissot’s indicatrix: a mathematical visualization of distortion, which is a subtle magnitude to measure.
Geodesics: the shortests paths that one wish to navigate through.
Loxodromes: rhumb paths that we can follow with a compass and star orientation.
Aspect: rotation of the globe allows to draw endless maps, centering the attention on our location or any region of the Earth that we wish to highlight.
Mappae mundi is a renovated version of The Sphere of the Earth, a program awarded with the first prize in the 2013 competition of Mathematics of Planet Earth.
Gallery Slider ---
Film Slider ---
MatchTheNet --- MatchTheNet is a game about 3-dimensional polytopes for a single player. You will meet the five Platonic Solids and their best friends!
In each round of the game you will see some polytopes on the top half of the window.
You can rotate them to look at them from all sides.
In the bottom half you will see the same number of planar nets.
These are unfoldings of polytopes into the plane.
The goal is to match the nets to the polytopes.
You can switch any pair of nets by moving one over the other.
MatchTheNet is available in English and German, it features 7 levels of difficulties for a number of 2 up to 5 polytopes. The program is well suited for temporary or permanent installations in exhibitions and science museums.
MatchTheNet is based on polymake, which is open source software for research in polyhedral geometry. It deals with polytopes, polyhedra and fans as well as simplicial complexes, matroids, graphs, tropical cycles, and more.
QI --- Interactive viewer for constant mean curvature and constrained Willmore surfaces. Qi is a browser based viewer using webgl. On the left you can choose between various surfaces and on the right switch between different properties (information, textures, viewing modes, etc.).