Séance d'exercices du vendredi 27.11.2017

• On donne, pour $x>0$, l'équation différentielle $$x^3y''' +x^2 y'' -2xy'+2y = 2x^4$$

  • Afin de trouver les solutions de l'équation homogène associée, utilisez le fait qu'il s'agit d'une équation d'Euler pour chercher des solutions de la forme $y = t^r$.
  • Déterminez une solution particulière de l'équation donnée.

• On considère le système d'équations différentielles suivant $$\left\{ \begin{array}{lcrcr} x'_1(t) & = & 3x_1(t) & - &2x_2(t)\\ x'_2(t) & = & 2x_1(t) & - & 2x_2(t)\end{array}\right.$$ avec $x_1(0) = 3, x_2(0) = \frac{1}{2}$.

  • Transformez le système en une seule équation du deuxième ordre.
  • Trouvez $x_1$ et $x_2$ satisfaisant aux conditions initiales données.
  • Tracez le graphique de la solution dans le plan de phase $x_1x_2$

• Transformez chacune des équations différentielles suivantes en un système d'équations du premier ordre, qu'on écrira sous forme matricielle.

  • $2y'' +y' +4y = 6 \sin t$
  • $t^2 y'' + t y + (t^2 -1) y =0$
  • $y^{(4)} -y = 0$