5 - MATEMATICA-SIMBOLICA.sagews

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CALCULO COM MATEMÁTICA SIMBÓLICA

SAGE usa o motor do MAXIMA para realizar calculos de matemática simbólica. Dessa forma, é possível integrar e diferenciar funções simbolicamente, resolver EDOs de primeira ordem, grande parte das EDOs lineares de segunda ordem, e ainda tem implementado o método da transformada de Laplace para EDOs lineares de qualquer ordem. O MAXIMA também suporta uma série de funções especiais, é capaz de criar gráficos via gnu-plot, e possui métodos para resolver equações polinômiais e manipular matrizes (por exemplo, escalonar e calcular autovalores e autovetores).

Carregando Variáveis e Testando o Calculo Simbólico

A variável "x" por pdrão ja vem implementada como variável simbólica. Para trabalhar com calculos simbólicos, utilizamos o comando:

var('variável')

ou

%var variável

var('w')

# ou

%var p

$\displaystyle w$

Testando

w*w ; p + 2*p

$\displaystyle w^{2}$

$\displaystyle 3 \, p$

# Resetando as variáveis

reset()

w

Error in lines 3-3 Traceback (most recent call last): File "/projects/sage/sage-6.10/local/lib/python2.7/site-packages/smc_sagews/sage_server.py", line 947, in execute exec compile(block+'\n', '', 'single') in namespace, locals File "", line 1, in <module> NameError: name 'w' is not defined

# Criando novamente a variável simbólica W

var('w')

$\displaystyle w$

# veja que a variável 'x' ja é por padrão uma variável definida no SAGE. 'y' não foi declarado, veja o que acontece.

3*x + x; w^2 + w^2/2 ; y + 2*y

$\displaystyle 12$

$\displaystyle \frac{3}{2} \, w^{2}$

Error in lines 2-2 Traceback (most recent call last): File "/projects/sage/sage-6.10/local/lib/python2.7/site-packages/smc_sagews/sage_server.py", line 947, in execute exec compile(block+'\n', '', 'single') in namespace, locals File "", line 1, in <module> NameError: name 'y' is not defined

t = w^2 + 5

tr = -2*w^2 + 5*w -1

show(t) ; show(tr)

$\displaystyle w^{2} + 5$

$\displaystyle -2 \, w^{2} + 5 \, w - 1$

t + tr

$\displaystyle -w^{2} + 5 \, w + 4$

a = [x, x^2, x^3]
b = [2, 2*x, 2*x^3]

a; b

[$\displaystyle x$, $\displaystyle x^{2}$, $\displaystyle x^{3}$]

[$\displaystyle 2$, $\displaystyle 2 \, x$, $\displaystyle 2 \, x^{3}$]

# concatenar as duas listas

a + b;

[$\displaystyle x$, $\displaystyle x^{2}$, $\displaystyle x^{3}$, $\displaystyle 2$, $\displaystyle 2 \, x$, $\displaystyle 2 \, x^{3}$]

x = 3

c = a+b

x ;a; b; c

$\displaystyle 3$

[$\displaystyle x$, $\displaystyle x^{2}$, $\displaystyle x^{3}$]

[$\displaystyle 2$, $\displaystyle 2 \, x$, $\displaystyle 2 \, x^{3}$]

[$\displaystyle x$, $\displaystyle x^{2}$, $\displaystyle x^{3}$, $\displaystyle 2$, $\displaystyle 2 \, x$, $\displaystyle 2 \, x^{3}$]

No exemplo acima, foi atribuído um valor x = 2 para a variável e ainda assim não o cálculo não foi realizado. Porém, qualquer outra expressão a partir de agora contendo a variável "x" será avaliada. O SAGE não apresenta alteração imediata de valor em estruturas ja montadas. Para efetuar o calculo nos vetores, é só atribuir novamete os vetores das variáveis a,b e c

a = [x, x^2, x^3]

b = [2, 2*x, 2*x^3]

c = a +b;

a ; b ; c

[$\displaystyle 3$, $\displaystyle 9$, $\displaystyle 27$]

[$\displaystyle 2$, $\displaystyle 6$, $\displaystyle 54$]

[$\displaystyle 3$, $\displaystyle 9$, $\displaystyle 27$, $\displaystyle 2$, $\displaystyle 6$, $\displaystyle 54$]

A partir de agora, qualquer expressão contendo a variável "x", será efetuado o calculo com x=3

# x = 3 como atribuído acima

wt = x^3 - log(x) + sin(x)

wt ; n(wt)

$\displaystyle -\log\left(3\right) + \sin\left(3\right) + 27$

$\displaystyle 26.0425077193918$

Algebra Linear Simbólica

É possível trabalhar com matrizes e vetores simbólicos. Basta declarar as variáveis e realizar a execução

var("a11 ,a12, a21, a22, b11, b21")

($\displaystyle a_{11}$, $\displaystyle a_{12}$, $\displaystyle a_{21}$, $\displaystyle a_{22}$, $\displaystyle b_{11}$, $\displaystyle b_{21}$)

#vetor coluna

A = matrix([[a11, a12], [a21, a22]])
B = vector([b11, b21])

A ; B;

$\displaystyle \left(\begin{array}{rr} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right)$

$\displaystyle \left(b_{11},\,b_{21}\right)$

det(A); A.det()

$\displaystyle -a_{12} a_{21} + a_{11} a_{22}$

$\displaystyle -a_{12} a_{21} + a_{11} a_{22}$

A\B

$\displaystyle \left(-\frac{a_{12} {\left(\frac{a_{21} b_{11}}{a_{11}} - b_{21}\right)}}{a_{11} {\left(\frac{a_{12} a_{21}}{a_{11}} - a_{22}\right)}} + \frac{b_{11}}{a_{11}},\,\frac{\frac{a_{21} b_{11}}{a_{11}} - b_{21}}{\frac{a_{12} a_{21}}{a_{11}} - a_{22}}\right)$

A.inverse();  A^(-1)

$\displaystyle \left(\begin{array}{rr} \frac{1}{a_{11}} - \frac{a_{12} a_{21}}{a_{11}^{2} {\left(\frac{a_{12} a_{21}}{a_{11}} - a_{22}\right)}} & \frac{a_{12}}{a_{11} {\left(\frac{a_{12} a_{21}}{a_{11}} - a_{22}\right)}} \\ \frac{a_{21}}{a_{11} {\left(\frac{a_{12} a_{21}}{a_{11}} - a_{22}\right)}} & -\frac{1}{\frac{a_{12} a_{21}}{a_{11}} - a_{22}} \end{array}\right)$

$\displaystyle \left(\begin{array}{rr} \frac{1}{a_{11}} - \frac{a_{12} a_{21}}{a_{11}^{2} {\left(\frac{a_{12} a_{21}}{a_{11}} - a_{22}\right)}} & \frac{a_{12}}{a_{11} {\left(\frac{a_{12} a_{21}}{a_{11}} - a_{22}\right)}} \\ \frac{a_{21}}{a_{11} {\left(\frac{a_{12} a_{21}}{a_{11}} - a_{22}\right)}} & -\frac{1}{\frac{a_{12} a_{21}}{a_{11}} - a_{22}} \end{array}\right)$

A*B

$\displaystyle \left(a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21},\,a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21}\right)$

%%% FIM CALCULO COM MATEMATICA SIMBOLICA %%%