11 - CALCULO-DIFERENCIAL-INTEGRAL.sagews

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CALCULO INTEGRAL E DIFERENCIAL

Limites

Limite Simbólico

reset()

f = (x^2-1)/(x-1)
f

(x^2 - 1)/(x - 1)

Olhando a função f, podemos pensar a princípio que vai ocorrer um erro quando x = 1, pois ocorrerá uma divisão por zero no denominador. Mas vamos ver o gráfico da função:

plot(f,(x,-2,2),figsize=(4, 3))

# Ao digitar "f.lim" e tecla "TAB", o comando é preenchido automaticamente

limit(f, x = 1); f.limit(x = 1)

2 2

Podemos simplificar a expressão para observarmos melhor o que acontece com o limite, usamos o comando y.simplify_full().

f; f.simplify_full()

(x^2 - 1)/(x - 1) x + 1

# substitui o valor de x no calculo anterior (x+1)

_.subs(x=1)

2

Limite ao infinito

g = 1/x
g

$\frac{1}{x}$

limit(g,x = 0)

$\infty$

limit(1/x^2,x = oo)

$0$

Limite de função de duas variáveis

h(x,y) = (x*y^2 - x^2*y)/(x*y)

h(x,y)

$-\frac{x^{2} y - x y^{2}}{x y}$

limit(limit(h(x,y),x=0),y=1)

$1$

Ou ainda

h.limit(x = 0).limit(y =1)

(x, y) |--> 1

ATENÇÃO! A princípio parece que o SAGE errou na impressão da função f(x,y), mas não! temos:

$-(x^2*y - x*y^2) / (x*y) = (-x^2*y + x*y^2) / (x*y)$

o SAGE faz distinção na forma de impressão da função de acordo com a ordem as variáveis, veja:

f(x,y) = (x*y^2 - x^2*y)/(x*y);

f(x,y); f(y,x)

-(x^2*y - x*y^2)/(x*y) (x^2*y - x*y^2)/(x*y)

Limite Numérico

reset()

plot((x^2-1)/(x-1),(x,-5,5), figsize=(4, 3), gridlines="minor")

Limite pela Direita

sage_eval('(x^2-1)/(x-1)', {'x':1.0000000001})

$2.00000000000000$

Limite pela esquerda

sage_eval('(x^2-1)/(x-1)', {'x':0.999999999999})

$2.00000000000000$

plot(1/(x-1),(x,0.8,1.2),figsize=(5, 4))

Limite pela direita

sage_eval('1/(x-1)',{'x':0.0000000000000000000000000001})

$-1.00000000000000$

Limite pela esquerda

sage_eval('1/(x-1)',{'x':-0.0000000000000000000000000001})

$-1.00000000000000$

Derivada de uma Função

Derivada Simbólica Indefinida

reset()

f = x^2+3*x

# Primeira derivada (forma que será abolida nas proximas versoes do sage)

diff(f(x),x,1)

2*x + 3

/projects/sage/sage-6.10/local/lib/python2.7/site-packages/smc_sagews/sage_server.py:947: DeprecationWarning: Substitution using function-call syntax and unnamed arguments is deprecated and will be removed from a future release of Sage; you can use named arguments instead, like EXPR(x=..., y=...) See http://trac.sagemath.org/5930 for details. exec compile(block+'\n', '', 'single') in namespace, locals

# Primeira derivada

f.derivative(x,1)

2*x + 3

# Segunda derivada (forma que será abolida nas proximas versoes do sage)

diff(f(x),x,2)

2

# Segunda derivada

f.derivative(x,2)

2

# Terceira derivada (forma que será abolida nas proximas versoes do sage)

diff(f(x),x,3)

0

# Terceira derivada

f.derivative(x,3)

$0$

Derivada Simbólica definida

f = sin(x)*x

f

$x \sin\left(x\right)$

# primeira derivada (forma que será abolida nas proximas versoes do sage)

d1 = diff(f(x),x,1)

d1(2); n(d1(2))

$2 \, \cos\left(2\right) + \sin\left(2\right)$

$0.0770037537313969$

d1 = f.derivative(x,1)

d1(2).n()

$0.0770037537313969$

# segunda derivada

d2 = diff(f(x),x,2)

d2(2); n(d2(2))

$2 \, \cos\left(2\right) - 2 \, \sin\left(2\right)$

$-2.65088852674565$

d2 = f.derivative(x,2)

d2(2).n()

$-2.65088852674565$

Derivada Numérica

f = x^2 - 2*x

#DN -> derivada numerica
def DN(f, x , h):
    return (f(x + h)-f(x))/h

DN(f,0,0.0000000000000001)

<string>:1: DeprecationWarning: Substitution using function-call syntax and unnamed arguments is deprecated and will be removed from a future release of Sage; you can use named arguments instead, like EXPR(x=..., y=...) See http://trac.sagemath.org/5930 for details.

$-2.00000000000000$

Derivada Parcial

reset()

f(x,y) =  x*y + x^2 -2*y

f(x,y)

x^2 + x*y - 2*y

# Primeira Derivada parcial em relação a variável x (forma que será abolida nas proximas versoes do sage)

DfDx(x,y) = diff(f(x,y),x,1)

DfDx(x,y)

2*x + y

# Testando para x = 0 e y = 1

DfDx(0,1)

1

# Outra forma
f.derivative(x,1)

(x, y) |--> 2*x + y

# Primeira derivada parcial em relação a variável y (forma que será abolida nas proximas versoes do sage)

DfDy(x,y) = diff(f,y,1)

DfDy(x,y)

x - 2

# Testando para x = 0 e y = 1

DfDy(0,1)

-2

# Outra forma

f.derivative(y,1)

(x, y) |--> x - 2

Máximos e Mínimos

f =  cos(x) + sin(x) - x

plot(f,(x,-3,2), gridlines='minor',figsize=(4, 3))

Mínimo de Funções

f.find_local_minimum(-2,1)

(0.5707963267948966, -1.5707963266908485)

Máximo de Funções

f.find_local_maximum(-2,1)

(1.0, -4.8629035716871008e-09)

Integral de uma Função

Integral Simbólica Indefinida

reset()

f = sin(x)*x
f

$x \sin\left(x\right)$

plot(f,(x,-10,10),figsize=(4, 3),gridlines="minor")

df = integrate(f,x)
df

$-x \cos\left(x\right) + \sin\left(x\right)$

plot(f,(x,-10,10),legend_label=f,figsize=(4, 3),gridlines="minor") + plot(df,(x,-10,10),legend_label=df, color="red")

f.integrate(x)

$-x \cos\left(x\right) + \sin\left(x\right)$

Integral Simbólica Definida

f = sin(x)*x
f

$x \sin\left(x\right)$

plot(f,(x,0,1),figsize=(4, 3),gridlines="minor", fill=true)

# f(x) = sin(x)*x

resultado = integrate(f(x),x,0,1)

resultado; n(resultado)

-cos(1) + sin(1) 0.301168678939757

f.integrate(x,0,1).n()

0.301168678939757

print(latex(f.integrate(x,-1,1)))

-2 \, \cos\left(1\right) + 2 \, \sin\left(1\right)

Sólido de Revolução

$Volume = \pi\int_{x-1}^{x+1} {f(x)^2} ~dx$

f = sin(x)*x
plot(f,(x,-5,5), figsize = (4,3))

revolution_plot3d(f,(x,-5,5),parallel_axis = 'x', show_curve = 'True')

3D rendering not yet implemented

N(pi*(f^2).integrate(x,-5,5))

$158.426132164288$

Integral Numérica

Numerical integration (known in older literature as "quadrature") is another fundamental operation in numerical mathematics.

reset()

f = sin(x)*x

numerical_integral(f,0,1)

(0.30116867893975674, 3.343644016548594e-15)

f.nintegrate(x,0,1)

($0.30116867894$, $3.34364401655 \times 10^{-15}$, $21$, $0$)

Função Direta

(sin(x)*x).nintegrate(x,0,1)

($0.30116867894$, $3.34364401655 \times 10^{-15}$, $21$, $0$)

Integral Imprópria

f= 1/(1+x^2)

f

1/(x^2 + 1)

plot(f,(x,-10,10),figsize=(4, 3))

integrate(f,x,0,+oo);  f.integrate(x,0,+oo)

1/2*pi 1/2*pi

integrate(f,x,-oo,+oo); f.integrate(x,-oo,+oo)

pi pi

Integração Impropria Numérica

reset()

f= 1/(1+x^2)

f

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

Integração de 0 para + infinito

numerical_integral(f,0,+oo)

(1.5707963267948966, 2.5777915205519274e-10)

f.nintegrate(x,0,10^5)

(1.570786326794897, 9.937739836005583e-13, 693, 0)

Integração de -infinito para + infinito

numerical_integral(f,-oo,+oo)

($-3.151332438 \times 10^{12}$, $6.10304107767 \times 10^{12}$)

f.nintegrate(x,-10^5,10^5)

($3.14150060996$, $1.33895398455$, $1281$, $4$)

Integração Multipla

Integral Multipla Simbólica Indefinida

reset()

f(x,y) = x*y-x+y
f(x,y)

$x y - x + y$

plot3d(f,(x,-1,1),(y,-1,1),figsize = (6,5),gridlines='minor')

3D rendering not yet implemented

Integral Dupla Indefinida

reset()

h(x,y) = x*y-x+y

integrate(integrate(h(x,y),x),y)

1/4*x^2*y^2 - 1/2*x^2*y + 1/2*x*y^2

# forma mais compacta

h.integrate(x).integrate(y)

(x, y) |--> 1/4*x^2*y^2 - 1/2*x^2*y + 1/2*x*y^2

# integral função direta

integrate(integrate(x*y-x+y,x),y)

1/4*x^2*y^2 - 1/2*x^2*y + 1/2*x*y^2

# outra forma

(x*y-x+y).integrate(x).integrate(y)

1/4*x^2*y^2 - 1/2*x^2*y + 1/2*x*y^2

Integral Tripla Indefinida

reset()

g(x,y,z) = x*y*z - x + y - z

g(x,y,z)

x*y*z - x + y - z

integrate(integrate(integrate(g(x,y,z),x),y),z)

1/8*x^2*y^2*z^2 - 1/2*x^2*y*z + 1/2*x*y^2*z - 1/2*x*y*z^2

# Forma mais compacta

g.integrate(x).integrate(y).integrate(z)

(x, y, z) |--> 1/8*x^2*y^2*z^2 - 1/2*x^2*y*z + 1/2*x*y^2*z - 1/2*x*y*z^2

Integral Multipla Simbólica Definida

Integral Dupla Simbólica Definida

$\int_{y-1}^{y+1} \int_{x-1}^{x+1} {f(x,y)} ~dxdy$

reset()

h(x,y) = x*y-x+y

h(x,y)

x*y - x + y

integrate(integrate(h(x,y),x,x-1,x+1),y,y-1,y+1)

2*(2*x + 1)*y - 4*x + 2*y

integrate(integrate(h(x,y),x,0,1),y,0,1)

1/4

Ou mais prático

h.integrate(x,0,1).integrate(y,0,1)

1/4

Integral Tripla Definida

$\int_{z-1}^{z+1} \int_{y-1}^{y+1} \int_{x-1}^{x+1} {f(x,y)} ~dxdy$

g(x,y,z) = x*y*z-x+y-z

g(x,y,z)

x*y*z - x + y - z

integrate(integrate(integrate(g(x,y,z),x,x-1,x+1),y,y-1,y+1),z,0,1)

2*(x + 2)*y - 4*x - 2

g.integrate(x, x - 1, x + 1).integrate(y,y-1,y+1).integrate(z,0,1)

2*(x + 2)*y - 4*x - 2

g.integrate(x,0,1).integrate(y,0,y+1).integrate(z,0,1)

5/8*y^2 + 1/4*y - 3/8

Integral Multipla Numérica

Integral Multipla Dupla Numérica

reset()

h(x,y) = x*y - x + y

h(x,y)

x*y - x + y

numerical_integral(lambda y: numerical_integral(lambda x: h(x,y), 0,1)[0], 0, 1)

(0.25, 4.626654323992025e-15)

Integral Multpla Tripla Numérica

reset()

g(x,y,z) = x*y*z - x + y - z

g

(x, y, z) |--> x*y*z - x + y - z

numerical_integral(lambda z: numerical_integral(lambda y: numerical_integral(lambda x: g(x,y,z), 0,1)[0], 0, 1)[0],0,1)

(-0.375, 4.163336342344337e-15)

%%% FIM CALCULO INTEGRAL E DIFERENCIAL %%%%