Séance d'exercices du 8.12.2017

Exercice 1

On considère le système d'équations aux différences finies $\mathbf{x}_{n+1} = \begin{bmatrix}3&-4\\ 1&-1\end{bmatrix}\mathbf{x}_n$

• Donnez la solution générale,

• Donnez la solution vérifiant $\mathbf{x}_0 = \begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$

Exercice 2

On se propose de modéliser un affrontement entre deux groupes combattants $\mathcal{X}$ et $\mathcal{Y}$ dont les effectifs sont $x(t), y(t)$ ($t$ étant mesuré en jours). On suppose que $\mathcal{X}$ est une armée régulière, tandis que $\mathcal{Y}$ mène une guerre de guérilla. Pour simplicité, nous allons supposer qu'il n'y a pas de renouvellement des forces engagées au combat, et que les seules pertes résultent des combats eux-mêmes (i.e. sont causés directement par l'ennemi, pas de défection, de maladie...). Le taux de variation de chaque force est négatif, le premier camp à disparaître étant le camp perdant. Les hypothèses au sujet de la nature du combat donnent :

• Tout membre de l'armé de $\mathcal{X}$ est à porté de tir de l'armée de $\mathcal{Y}$, et toute la puissance de feu de $\mathcal{Y}$ est concentrée sur les membres survivants de $\mathcal{X}$. Ainsi $x'(t) = -ay(t)$ pour une certaine constante $a>0$ (qui est le coefficient d'effectivité au combat du camp $\mathcal{Y}$);

• Pour le camp $\mathcal{Y}$, qui est une force de guérilla, la situation est différente, puisque les combattants sont cachés aux yeux de $\mathcal{X}$ qui, en plus ne peuvent pas savoir avec certitude lorsqu'ils éliminent des combattants de $\mathcal{Y}$ (ce qui fait en sorte que leur force de frappe ne peut pas être concentrée sur les combattants restants). Le taux de pertes au combat pour $\mathcal{Y}$ est proportionnel à la fois à $y(t)$ (plus il y a de combattants plus il est facile de les répérer), mais aussi à $x(t)$ (qui est la force qui essaie de les éliminer). Ainsi $y'(t) = -cx(t)y(t)$.

Sans donner des expressions de $x(t)$ et $y(t)$, obtenez une équation des courbes solution dans le plan de phase. On prendra soin d'indiquer le sens des trajectoires. Montrez que le premier quadrant du plan de phase est divisé en deux régions qui correspondent aux issues possibles du combat.