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\renewcommand{\AnswerHeader}{\noindent \textbf{Solution à l'exercice \ \ExerciseHeaderNB .\ }}
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\lhead{Devoir 1 }
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\rhead{\small \bfseries Mat114 }
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\rfoot{\thepage}
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\begin{document}
\title{Mat114 -- Devoir 1}
\author{Le bonhomme sept-heures \and Mickey Mouse \and Bat man}
\date{\today}
\maketitle
{\bf Notes}
\begin{itemize}
\item À remettre le 4.09.2015 en début de la séance.
\item Les devoirs peuvent être remis en groupes d'au plus trois personnes, suivant les règles de présentation des travaux spécifiées dans le plan de cours.
\item Les personnes désirant faire le devoir en \LaTeX\ trouveront un gabarit avec le code source nécessaire. Il suffira d'écrire les réponses dans les espaces prévus.
\end{itemize}
\begin{Exercise} (série 1, n. 1, b et d)
Calculer les tables de vérité des propositions suivantes.
\Question $p\vee (p\to\neg q)$
\Question $(\neg p\wedge q)\to r$
\end{Exercise}
\medskip
\begin{Answer}
On commence à écrire la réponse ici.
\Question La première partie
\Question La deuxième
\end{Answer}
\begin{Exercise} (voir 1.5, a, b) Pour chaque paire de propositions ci-bas, déterminez si elles sont logiquement équivalentes. Justifiez.
\Question $(p\to q)\to r$ et $p\to (q\to r)$. Est-ce que le connecteur $\to$ est associatif?
\Question $\neg p \to \neg q$ et $q\to p$.
\end{Exercise}
\medskip
\begin{Exercise} (voir exercice 1.10) En utilisant uniquement les connecteurs logiques $\neg, \et$,
\Question Donnez une proposition logiquement équivalente à $p\ou q$ ;
\Question Donnez une proposition logiquement équivalente à $p \to q$.
\end{Exercise}
\medskip
\begin{Exercise} (série 1. n. 6, c, f)
Pour chacune des propositions conditionnelles ci bas, trouvez et simplifiez :
$\bbm{i}.$ sa réciproque ; $\bbm{ii}.$ sa contraposée ; $\bbm{iii}.$ sa négation.
\Question $\neg p \to \neg q$
\Question Si Bob échoue mathématiques discrètes ou algèbre I, alors il ne pourra pas graduer.
\end{Exercise}
\begin{Exercise} (série 1, n. 9 a, c) Déterminer, sans utiliser les tables de vérité (c'est à dire en utilisant uniquement des propriétés déjà établies), si les propositions suivantes sont équivalentes ou pas :
\Question $p\wedge (\neg (q\wedge r))$ et $(p\wedge \neg q) \wedge (p\wedge \neg r)$.
\Question $(p\et q) \ou (p\et q \et r)$ et $p\et q$.
\end{Exercise}
\medskip
\begin{Exercise} (Optionnel, exercice 1.11) Vous \^etes \`a un carrefour. Dans une direction se trouve la ville V o\`u tous les habitants disent toujours la v\'erit\'e. Dans la direction oppos\'ee se trouve ville M o\`u tous les habitants mentent toujours. Le probl\`eme, c'est que vous ne savez pas laquelle est laquelle! Une personne s'approche; par le miracle des probl\`emes math\'ematiques, vous savez qu'elle habite V ou M mais vous ne savez pas laquelle. Quelle question pouvez-vous lui demander afin de savoir dans quelle direction est V et dans laquelle est M?
\end{Exercise}
\end{document}