Exemple: On considère la fonction et prolongée par périodicité. Calculons sa série de Fourier.
Ici la période est , de sorte que la féquence fondamentale est
Bâtissons une liste avec les premiers coefficients de fourier de la fonction , d'abord les coefficients correspondant aux cosinus.
Que produit la commande [n^2 for n in range(10)] ?
On voit clairement que les coefficients de la partie en cosinus sont tous (sauf le 0-ième) nuls, tandis que
Exemple
On considère la fonction
Exemple
Voyons un phénomène intéressant : on s'intéresse à la fonction , sur l'intervalle . Le domaine de la fonction n'est pas symétrique. Que faire? Comment définir la fonction sur ? Il y a quelques choix plus ou moins naturels:
- On pourrait poser =0 sur .
- On pourrait prolonger de sorte à obtenir une fonction paire, ou
- On pourrait obtenir de sorte à obtenir une fonction impaire.
Voyons les deux dernières options, ce qui est à noter c'est que la série qui correspond au prolongement pair de la fonction converge beuacoup plus rapidement.
Afin de voir pourquoi, calculons quelques coefficients:
Attention, ici ce sont les coefficients de la fonction originale.On voit bien, dans le prolongement pair, il y a un terme en , tandis que pour le prolongement impair c'est de l'ordre de ...
Exemple : On considère une tige de longueur , à l'instant initial, elle a une température constante égale à . Pour étudier la température on doit résoudre
Supposons .
[ u(x,t) = \frac{40}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(1-(-1)^n)}{n}\sin \left(\frac{n\pi x}{50} \right) e^{-\left(\frac{n\pi}{50}\right)^2 t} ]
Exemple : Sur la région on cherche à résoudre l'équation de Laplace avec les conditions de Dirichlet
La fonction est définie par
Solution : Il a été vu en classe que la solution est donnée par
Exemple : Résoudre l'équation d'onde , (donc ) pour une corde de longueur avec conditions
Solution : Il a été établi en classe que la solution est où les sont les coefficients de la série de Fourier en sinus de la fonction sur .
On voit ici quelle est la forme que la corde épouse à différents moments. L'onde se déplace vers la droite.