Fourier - CoCalc

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Exemple: On considère la fonction

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et prolongée par périodicité. Calculons sa série de Fourier.

Ici la période est $T=2$ , de sorte que la féquence fondamentale est $\omega = \frac{2\pi}{T} = \pi$

f1(x)=0
f2(x)=1
f = piecewise([[(-1,0),f1],[(0,1),f2]])
CF = plot(f, thickness=4,figsize=5)
show(CF)

Bâtissons une liste avec les premiers coefficients de fourier de la fonction $f$ , d'abord les coefficients correspondant aux cosinus.

Que produit la commande [n^2 for n in range(10)] ?

[f.fourier_series_cosine_coefficient(j,1) for j in range(10)]

[

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

]

[f.fourier_series_sine_coefficient(j,1) for j in range(10)]

[0, 2/pi, 0, 2/3/pi, 0, 2/5/pi, 0, 2/7/pi, 0, 2/9/pi]

On voit clairement que les coefficients de la partie en cosinus sont tous (sauf le 0-ième) nuls, tandis que

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Fourier = plot(f.fourier_series_partial_sum(6,1),x,-2,2,color='red', thickness=1)
show(Fourier + CF, figsize = 4)

@interact
def _(j=(2..30)):
    F = f.fourier_series_partial_sum(j,1)
    CourbeF=plot(F,-2,2,color='red', thickness=1)
    show(CF + CourbeF, figsize = 4)

Interact: please open in CoCalc

Exemple

On considère la fonction

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f = piecewise([[(-2,0),-x],[(0,2),x]])
CF = plot(f, thickness=2,figsize=5)
show(CF)

[f.fourier_series_cosine_coefficient(j,2) for j in range(10)]

[2, -8/pi^2, 0, -8/9/pi^2, 0, -8/25/pi^2, 0, -8/49/pi^2, 0, -8/81/pi^2]

[f.fourier_series_sine_coefficient(j,2) for j in range(10)]

[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]

Fourier = plot(f.fourier_series_partial_sum(3,2),x,-2,2,color='red', thickness=1)
show(Fourier + CF)

Exemple

Voyons un phénomène intéressant : on s'intéresse à la fonction $f(x)=x$ , sur l'intervalle $[0,1]$ . Le domaine de la fonction n'est pas symétrique. Que faire? Comment définir la fonction $f$ sur $[-1,0]$ ? Il y a quelques choix plus ou moins naturels:

On pourrait poser $f(x)$ =0 sur $[-1,0]$ .
On pourrait prolonger $f$ de sorte à obtenir une fonction paire, ou
On pourrait obtenir $f$ de sorte à obtenir une fonction impaire.

Voyons les deux dernières options, ce qui est à noter c'est que la série qui correspond au prolongement pair de la fonction converge beuacoup plus rapidement.

f1(x)=-x
f2(x)=x
f = piecewise([[(-1,0),f1],[(0,1),f2]])
g= piecewise([[(-1,0),f2],[(0,1),f2]])
Cf=plot(f, color='blue')
Cg=plot(g, color='green')
show(Cf+Cg,aspect_ratio=1,figsize=5)

@interact
def _(j=(2..30)):
    F = f.fourier_series_partial_sum(j,1)
    CourbeF=plot(F,-2,2,color='red', thickness=1)
    show(Cf + CourbeF, aspect_ratio=1,figsize=6)
    G = g.fourier_series_partial_sum(j,1)
    CourbeG=plot(G,-2,2,color='red', thickness=1)
    show(Cg+CourbeG,aspect_ratio=1,figsize=6)

Interact: please open in CoCalc

Afin de voir pourquoi, calculons quelques coefficients:

Attention, ici ce sont les coefficients de la fonction originale.

[f.fourier_series_cosine_coefficient(j,1) for j in range(10)]

[

1

-\frac{4}{\pi^{2}}

0

-\frac{4}{9 \, \pi^{2}}

0

-\frac{4}{25 \, \pi^{2}}

0

-\frac{4}{49 \, \pi^{2}}

0

-\frac{4}{81 \, \pi^{2}}

]

[g.fourier_series_sine_coefficient(j,1) for j in range(10)]

[

0

\frac{2}{\pi}

-\frac{1}{\pi}

\frac{2}{3 \, \pi}

-\frac{1}{2 \, \pi}

\frac{2}{5 \, \pi}

-\frac{1}{3 \, \pi}

\frac{2}{7 \, \pi}

-\frac{1}{4 \, \pi}

\frac{2}{9 \, \pi}

]

On voit bien, dans le prolongement pair, il y a un terme en $\displaystyle \frac{1}{n^2}$ , tandis que pour le prolongement impair c'est de l'ordre de $\displaystyle\frac{2}{n}$ ...

Exemple : On considère une tige de longueur $\ell = 50 cm$ , à l'instant initial, elle a une température constante égale à $20^\circ$ . Pour étudier la température on doit résoudre $\left\{\begin{array}{lcl} \frac{\partial u}{\partial t} & = & \alpha^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\\ u(0,t) & = & 0\\ u(l,t) & = & 0\\ u(x,0)& =& 20^\circ \end{array} \right.$

Supposons $\alpha^2 =1$ .

var('x,t')

(

x

t

)

$u(x,t) = \frac{40}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(1-(-1)^n)}{n}\sin \left(\frac{n\pi x}{50} \right) e^{-\left(\frac{n\pi}{50}\right)^2 t}$

U=[1/n*(1-(-1)^n)*sin(n*pi*x/50)*exp(-(n^2*pi^2/50^2)*t) for n in range(1,71)]

u(x,t)=40/pi*sum(U)

cmsel = [colormaps['autumn'](i) for i in sxrange(0,1,0.05)]
plot3d(u,(x,0,50),(t,0,500),adaptive=True, color=cmsel, frame_aspect_ratio=[10,1,10])

3D rendering not yet implemented

Exemple : Sur la région $\mathcal{R}=[0,3]\times[0,2]$ on cherche à résoudre l'équation de Laplace $\nabla^2 u =0$ avec les conditions de Dirichlet

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La fonction $f$ est définie par

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Solution : Il a été vu en classe que la solution est donnée par $u(x,y) = \sum_{n=1}^\infty \frac{8}{n^2\pi^2}\cdot \frac{\sin{\left(\frac{n\pi}{2}\right)}}{\sinh\left(\frac{3n\pi}{2}\right)}\cdot \sinh{\left(\frac{n\pi x}{2}\right)} \cdot \sin{\left(\frac{n\pi y}{2}\right)}$

var('x,y')
U=[1/n^2 * sin(n*pi/2) *sinh(n*pi*x/2) * sin(n*pi*y/2)/sinh(3*n*pi/2) for n in range (1,20)]

(

x

y

)

u(x,y)=(8/pi^2)*sum(U)
cmsel = [colormaps['hot'](i) for i in sxrange(0,1,0.05)]
plot3d(u,(x,0,3),(y,0,2),adaptive=True, color=cmsel,frame_aspect_ratio=[1,1,1])

3D rendering not yet implemented

Exemple : Résoudre l'équation d'onde $u_{tt} = 4 u_{xx}$ , (donc $c=2$ ) pour une corde de longueur $\ell = 30cm$ avec conditions

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Solution : Il a été établi en classe que la solution est $u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty A_n \sin{\frac{n\pi x}{30}}\cos{\frac{2n\pi t}{30}}$ où les $A_n$ sont les coefficients de la série de Fourier en sinus de la fonction $f$ sur $[0,30]$ .

f = piecewise([[(0,10),x/10],[(10,30),(30-x)/20]])

[f.fourier_series_sine_coefficient(j,30) for j in range(10)]

<string>:1: DeprecationWarning: Substitution using function-call syntax and unnamed arguments is deprecated and will be removed from a future release of Sage; you can use named arguments instead, like EXPR(x=..., y=...)
See http://trac.sagemath.org/5930 for details.

[

0

\frac{9 \, \sqrt{3}}{4 \, \pi^{2}}

\frac{9 \, \sqrt{3}}{16 \, \pi^{2}}

0

-\frac{9 \, \sqrt{3}}{64 \, \pi^{2}}

-\frac{9 \, \sqrt{3}}{100 \, \pi^{2}}

0

\frac{9 \, \sqrt{3}}{196 \, \pi^{2}}

\frac{9 \, \sqrt{3}}{256 \, \pi^{2}}

0

]

U=[1/n^2 * sin(n*pi*x/30)*cos(2*n*pi*t/30)*sin(n*pi/3) for n in range (1,20)]
u(x,t)=9/pi^2*sum(U)
cmsel = [colormaps['hot'](i) for i in sxrange(0,1,0.05)]
plot3d(u,(x,0,30),(t,0,40),adaptive=True, color=cmsel, frame_aspect_ratio=[1,1,10])

3D rendering not yet implemented

F1=[plot(u(x,n),(x,0,30),color='red') for n in range(10)]
show(sum(F1), figsize=4)

On voit ici quelle est la forme que la corde épouse à différents moments. L'onde se déplace vers la droite.