Continuite-Surfaces.sagews

Continuité, surfaces et courbes de niveau

Soit $\mathcal{D} \subseteq \mathbb{R}^n$ une région de l'espace (on peut penser que $n=2$), et $f:\mathcal{D} \to \mathbb{R}$ une fonction. Soit en plus $\bf{a}\in \mathcal{D}$. On dit que la fonction $f(\bf{x})$ tend vers $L$ lorsque $\bf{x}$ tend vers $\bf{a}$ si pour tout réel $\epsilon > 0$ il existe un réel $\delta >0$ tel que $|f(\bf{x}) - L| < \epsilon$ aussitôt que $|\bf{x} - \bf{a}| < \delta$. Autrement dit, la distance entre $f(\bf{x})$ et $L$ est aussi petite que l'on veut, pourvu que la distance entre $\bf{x}$ et $\bf{a}$ soit suffisament petite. On écrit dans ce cas $\displaystyle \lim_{\bf{x} \to \bf{a}} f(\bf{x} ) = L$

La fonction $f$ est continue en $\bf{a}$ si $\displaystyle \lim_{ \bf{x} \to \bf{a} } f(x)= f( \bf{a} )$. Ceci présuppose notamment que $\bf{a}$ fait partie du domaine de $f$. Ceci signifie que les valeurs de $f$ ne varient pas brusquement lorsque $\bf{x}$ varie aux alentours de $\bf{a}$. Dans le cas où $n=2$ (deux variables) l'interprétation de ceci en termes de la surface $z=f(x,y)$ est essentiellement la même que celle de la contuité d'une fonction $y=f(x)$ en termes de sa courbe : il n'y a pas de déchirures. Par ailleurs, en plusieurs variables on dispose de l'outil supplémentaire qui sont les courbes de niveau.

Voyons quelques exemples.

Exemple 1.

On considère la fonction

$$f(x,y) = \left\{ \begin{array}{lcl} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} & \text{ si } & (x,y)\ne (0,0)\\ 0& \text{ si } & (x,y) =(0,0) \end{array}\right.$$

On voit bien qu'il y a un problème à l'origine (le 11e commandement : tu ne diviseras point par $0$).

(x, y)

3D rendering not yet implemented

Voyons les courbes de niveau : on voit bien que si l'on se rapproche de l'origine par différentes droites, les valeurs de $f$ sont différentes aussi. La limite de $f$ en $(0,0)$ n'existe simplement pas, cette fonction ne peut pas être continue en ce point.

C=contour_plot(f, (x,-1, 1), (y,-1, 1),cmap='Blues',linestyles='solid', colorbar=True)# Création du graphique des courbes de niveau.
show(C,figsize=6)

cm = colormaps.Blues
def c(x,y):
	return 0.7 + 0.4*(x^2- y^2)/(x^2+ y^2)
f(x,y)=(x^2-y^2)/(x^2+y^2)
S=plot3d(f(x,y), (x,-1,1), (y,-1,1), color = (c,cm))
show(S)

3D rendering not yet implemented

Exemple 2 :

Considérons la fonction $g(x,y) = \arctan \left( \frac{y}{x}\right)$ lorsque $x\ne 0$. La présence du $x$ au dénominateur indique qu'il y aura des problèmes pour des valeurs de $x$ très petites.

cm =colormaps.hot
def c(x,y):
	return (1/pi.n())*arctan(y/x) +1/2
g(x,y) = arctan(y/x)
S=plot3d(g(x,y),(x,-1,1),(y,-1,1),color=(c,cm))
show(S, aspect_ratio=[pi,pi,1])

3D rendering not yet implemented

Les courbes de niveau :

$g(x,y) = c$ revient à dire $y / x \tan\left(c \right)$, ce qui donne que la courbe de niveau $c$ est la droite $y = (\tan c)x$. Voyons un peu :

C=contour_plot(g, (x,-1, 1), (y,-1, 1),cmap='hot',linestyles='solid', colorbar=True)
show(C)

Exemple 3 :

Voyons maintenant à quoi ressemble une surface continue. Soit $h$ la fonction définie par

$$h(x,y) = \left\{ \begin{array}{lcl} \frac{3x^2 y}{x^2+y^2} & \text{ si } & (x,y)\ne (0,0)\\ 0& \text{ si } & (x,y) =(0,0) \end{array}\right.$$

Ici on pourrait penser que le même problème que ci-haut va se présenter, mas ce n'est pas le cas, en fait, le numérateur est de degré 3, le dénominateur de degré 2. Le numérateur tend vers 0 plus vite que le dénominateur.

var('x,y')
cm = colormaps.Blues
h(x,y)= 3*x^2*y/(x^2+y^2)
def c(x,y):
	return 0.5+1.5*x^2*y/(x^2+y^2+0.005)#


S=plot3d(h,(x,-1,1),(y,-1,1), color = (c,cm), opacity=1, mesh=1)
show(S)
C=contour_plot(h, (x,-1, 1), (y,-1, 1),cmap='Blues',linestyles='solid', colorbar=True)
show(C,figsize=4)

(x, y)

3D rendering not yet implemented

Continuité pour cet exemple :

Il n'y a pas de variation brusque du ton de bleu dans le diagramme!

Exemple 4

Soit maintenant la fonction définie par $\displaystyle h(x,y) = \frac{xy^2}{x^2+y^4}$ pour $(x,y)\ne (0,0)$ Nous avons vu en classe que si $\mathcal{C}_m$ est la droite de pente $m$, alors $$\lim_{\stackrel{(x,y)\to (0,0)}{\mathcal{C}_m}} f(x,y) = 0$$ mais sur la parabole $x=y^2$, la limite a une autre valeur. Ainsi, la limite de $f(x,y)$ lorsque $(x,y)$ tend vers $0$ n'existe pas. Voyons la surface, mais mieux encore, les courbes de niveau.

var('x,y,s,t')
h(x,y)= x*y^2/(x^2+y^4)
cm = colormaps.Blues
def c(x,y):
	return 0.6+x*y^2/(x^2+y^4+0.005)# Colorier ceci pose des problèmes, à cause de la singularité.
S=plot3d(h,(x,-1,1),(y,-1,1),color = (c,cm), opacity=1, mesh=1)
show(S)
C=contour_plot(h, (x,-1, 1), (y,-1, 1),cmap='Blues',linestyles='solid', colorbar=True)
show(C,figsize=4)

(x, y, s, t)

3D rendering not yet implemented

Continuité?

C'est moins évident que dans les exemples précédents, mais on peut quand même voir le problème à l'origine : prés de l'origine, il y a des zones de toutes les tonalités de bleu.

Exemple 5

Soit maintenant la fonction définie par $\displaystyle h(x,y) = \frac{y}{x^2+y^2}$ pour $(x,y)\ne (0,0)$ Nous avons vu en classe que les courbes de niveau sont des cercles, privés d'un point, à savoir l'origine. Voyons les figures.

h(x,y)= y/(x^2+y^2)
cm = colormaps.Spectral
def c(x,y):
	return float(y/(x^2 + y^2+0.005))# Colorier ceci pose des problèmes, à cause de la singularité.
S=plot3d(h,(x,-1,1),(y,-1,1),color = (c,cm), opacity=1, mesh=1)
show(S, frame_aspect_ratio=[20,20,1])
C=contour_plot(h,(x,-1.5,1.5),(y,-1.5,1.5), cmap = "Spectral", 
               contours = [-2,-1, -0.5,-0.25,0,0.25,0.5,1,2], colorbar = True, 
               axes = True, 
               labels = True, label_colors='black', 
               label_inline=True, label_fontsize=8, 
               gridlines = True, axes_labels=['$x$','$y$'])
show(C,figsize=8)

3D rendering not yet implemented

min([1,2])

1

import matplotlib.cm
matplotlib.cm.datad.keys()
var('r v')
cmsel = [matplotlib.cm.get_cmap('autumn')(_) for _ in sxrange(0,1,0.05)]
p = plot3d(0.2*(r**2 + v**2) + cos(2*r)*sin(2*v),(r,-2,2), (v,-2,2), adaptive=True, color=cmsel, plot_points=10, opacity=0.9)
p2 = sphere((0,0,0),1,color='black',opacity=0.5)
(p+p2).show(aspect_ratio=(1,1,1))

[u'Spectral', u'summer', u'coolwarm', u'tab20c_r', u'Wistia_r', u'RdYlBu_r', u'Set1', u'Set2', u'Set3', u'brg_r', u'pink_r', u'Dark2', u'prism', u'PuOr_r', u'afmhot_r', u'terrain_r', u'PuBuGn_r', u'RdPu', u'gist_ncar_r', u'tab10_r', u'gist_yarg_r', u'Dark2_r', u'YlGnBu', u'RdYlBu', u'hot_r', u'gist_rainbow_r', u'copper_r', u'PuBu_r', u'cool_r', u'cool', u'gray', u'gist_stern', u'Greens_r', u'GnBu', u'gist_ncar', u'spring_r', u'gist_rainbow', u'gist_heat_r', u'Wistia', u'OrRd_r', u'CMRmap', u'tab20_r', u'bone', u'gist_stern_r', u'RdYlGn', u'Pastel2_r', u'BuGn_r', u'spring', u'terrain', u'YlOrRd_r', u'Set2_r', u'winter_r', u'tab20', u'PuBu', u'RdGy_r', u'flag_r', u'jet_r', u'RdPu_r', u'Purples_r', u'gist_yarg', u'BuGn', u'Paired_r', u'hsv_r', u'bwr', u'cubehelix', u'Greens', u'PRGn', u'gist_heat', u'Paired', u'hsv', u'Oranges_r', u'prism_r', u'tab10', u'Pastel2', u'Pastel1_r', u'Pastel1', u'gray_r', u'PuRd_r', u'Spectral_r', u'gnuplot2_r', u'gist_earth', u'YlGnBu_r', u'copper', u'gist_earth_r', u'Set3_r', u'OrRd', u'gnuplot_r', u'ocean_r', u'brg', u'gnuplot2', u'jet', u'bone_r', u'BuPu', u'Oranges', u'RdYlGn_r', u'PiYG', u'CMRmap_r', u'YlGn', u'binary_r', u'gist_gray_r', u'Accent', u'BuPu_r', u'gist_gray', u'flag', u'bwr_r', u'RdBu_r', u'BrBG', u'Reds', u'Set1_r', u'summer_r', u'GnBu_r', u'BrBG_r', u'Reds_r', u'RdGy', u'PuRd', u'Accent_r', u'Blues', u'tab20b_r', u'autumn_r', u'autumn', u'cubehelix_r', u'nipy_spectral_r', u'PRGn_r', u'Greys_r', u'pink', u'binary', u'winter', u'gnuplot', u'RdBu', u'hot', u'YlOrBr', u'coolwarm_r', u'rainbow_r', u'rainbow', u'PiYG_r', u'YlGn_r', u'Blues_r', u'YlOrBr_r', u'seismic', u'Purples', u'tab20c', u'tab20b', u'seismic_r', u'Greys', u'ocean', u'YlOrRd', u'PuOr', u'PuBuGn', u'nipy_spectral', u'afmhot'] (r, v)

3D rendering not yet implemented